Dúvida sobre questão de probabilidade condicional

Vamos resolver a questão passo a passo para entender a solução dada.

Para simplificar a explicação, vamos usar $P$ para representar a probabilidade de A e B se enfrentarem em uma determinada rodada.

(a) Para a primeira rodada:

A probabilidade de A e B se enfrentarem na primeira rodada é de 1?n1?, onde $n$ é o número total de jogadores na primeira rodada. Dado que são $n=2$ jogadores na primeira rodada e A está fixo em uma posição, há apenas uma posição possível para B, que é a posição restante. Portanto, ?=12P=21? para a primeira rodada.

(b) Para a segunda rodada:

Se A e B vencerem seus jogos na primeira rodada, eles avançarão para a segunda rodada. Se A estiver em uma das duas posições possíveis na segunda rodada, há duas posições possíveis para B. Assim, $P$ para a segunda rodada seria:

?=24×12=14P=42?×21?=41?

(c) Para a terceira rodada:

Se A e B avançarem novamente, e considerando que houve um total de 4 jogadores na segunda rodada (dos quais A e B são dois), haverá 2 posições possíveis para A e 2 posições possíveis para B. Assim, $P$ para a terceira rodada seria:

P=24×24×12=18P=42?×42?×21?=81?

O padrão observado é que, a cada rodada adicional, o número de posições possíveis para A e B é dividido por 2. Portanto, para a $k$-ésima rodada, $P$ seria:

P=(12)?P=(21?)k

A resposta correta, então, seria:

P=12+14+18+…P=21?+41?+81?+…

Esta é uma série geométrica com razão 1221?, e a soma da série é:

P=121?12=1212=1P=1?21?21??=21?21??=1

Portanto, a probabilidade de A e B se enfrentarem durante o torneio é 1 ou 100%.

a probabilidade é 1 ou 100%.

A probabilidade de A e B se enfrentarem durante o torneio é 1 ou 100%.

Vamos esclarecer essas questões sobre a probabilidade de os jogadores A e B se enfrentarem durante o torneio, considerando a explicação dada. 1. **Posições possíveis para B após A ser posto na tabela:** Quando o jogador A é colocado na tabela, ele ocupa uma posição fixa. Para o jogador B, existem várias posições possíveis, dependendo do número total de jogadores no torneio. Se houver 2 jogadores, o jogador B só pode estar em uma posição e enfrentará o jogador A. Se houver 4 jogadores, o jogador B tem duas posições possíveis. Se houver 8 jogadores, o jogador B tem quatro posições possíveis, e assim por diante. Isso ocorre porque, para cada rodada, os jogadores são pareados em grupos de 2, então a quantidade de posições possíveis para o jogador B é determinada pelo número total de jogadores e a rodada em questão. 2. **Probabilidade de os jogadores A e B se enfrentarem na segunda rodada:** Supondo que A e B vençam seus jogos na primeira rodada, eles avançam para a segunda rodada. A probabilidade de eles se enfrentarem na segunda rodada depende das posições possíveis de B, que é o que foi explicado acima. A expressão \(\frac{2}{4}\) no exemplo dado significa que, se houver 4 jogadores restantes na segunda rodada (após a primeira rodada onde havia 4 grupos de 2 jogadores), o jogador B tem duas posições possíveis para enfrentar o jogador A. 3. **Contagem das posições possíveis de B:** A contagem das posições possíveis de B é feita considerando o número total de jogadores restantes no torneio. Para cada potência de 2 jogadores restantes, a quantidade de posições possíveis de B é a metade do número total de jogadores restantes. 4. **Última expressão:** A última expressão que você mencionou, \( \frac{2 + 4 + 8 + \ldots}{2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots} \), representa a soma das posições possíveis de B em todas as rodadas do torneio, dividida pela soma total de jogadores em cada rodada. Isso leva em conta todas as possíveis configurações de jogadores e a probabilidade de A e B se enfrentarem em cada rodada subsequente.