Encontrar os extremos locais de f(x,y) = x^2+xy+y^2-2x-2y

Professor David C.

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Respondeu há 6 anos

Existem duas formas de achar os extremos locais dessa função.
Forma 1: Derivadas parciais
Se voce conhece as ferramentas do cálculo diferencial, o exercício pode ser feito usando derivadas parciais.
Passo1: Identificamos os pontos criticos de f achando o ponto (x,y) tal que a derivada parcial de f em relação a x e a derivada parcial de f em relação a y sejam zero. Derivamos:

Derivada parcial de f em relação a x:
fx (x,y) = 2x + y - 2
Derivada parcial de f em relação a y:
fy (x,y) = x + 2y - 2

Fazendo iguais a zero, obtemos o sistema linear
2x + y = 2
x + 2y = 2
Cuja solução é (x,y) = (2/3, 2/3)

Passo2: A continuação encontramos a matriz Hessiana da função f, usando as derivadas parciais de segundo ordem de f:

Derivada parcial de f de segundo ordem em relação a x:
fxx (x,y) = 2
Derivada parcial de f de segum ordem em relação a x e a y:
fxy (x,y) = fyx (x,y) = 1
Derivada parcial de f de segundo ordem em relação a y:
fyy (x,y) = 2

Logo a matriz Hessiana é da forma:
2 1
1 2
Dado que 2 > 0, e (2*2-1*1) = 3 > 0; então o ponto (2,3) é o minimo local da função f.


Forma 2: Mudança de variáveis
Passo1: Considere a mudança de variaveis:
x = a + b
y = a - b

Substituindo em f, obtemos a função
g(a,b) = f(a+b,a-b) = (a+b)^2 + (a+b)(a-b) + (a-b)^2 - 2(a+b) - 2(a-b)
g(a,b) = 3a^2 - 4a + b^2

Passo2: Note que se multiplicamos por 3 a função g obtemos
3g(a,b) = 9a^2 -12a + 3b^2
3g(a,b) = (3a - 2)^2 + 3b^2 - 4
Logo:
g(a,b) = ((3a-2)^2) /3 + b^2 - 4/3

Dado que os quadrados são sempre não negativos, então
g(a,b) = ((3a-2)^2) /3 + b^2 - 4/3 >= -4/3

Logo o mínimo local da função g é atingido quando
3a - 2 = 0
b = 0

Passo3: Ou seja, quando: a =2/3 e b = 0, a função g atinge o mínimo local, logo f também atinge o mínimo local, só que nas variaveis
x = a + b = 2/3 + 0 = 2/3
y = a - b = 2/3 - 0 = 2/3

Portanto, a função atinge o mínimo local no ponto (x,y)=(2/3,2/3).