Equações diferenciais 1

Professor David S.

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Respondeu há 3 anos

A quantidade inicial de sal no tanque é:

700l x 1g/l = 700g

A taxa de variação da quantidade de sal num instante t é dada por:

dy/dt = qtd. de sal que entra - qtd. de sal que sai,

onde y é a quantidade de sal no instante t.

Como a água que entra é doce, o primeiro termo da equação é nulo. Assim, ficamos com:

dy/dt = -y(t)/700 x 3l/min

onde o primeiro termo da equação é a concentraação de sal na mistura e o segundo termo é taxa de saída da mistura.

Assim, a equação fica:

y' = -(3/700) y

y' + (3/700) y = 0

Cuja solução é da forma: y(t) = a x e(bt), onde e é a base do log natural.

Aplicando as condições de contorno, temos:

1. Em t = 0 a quantidade de sal = 700g, ou seja, y(0) = 700
2. Em t = 0 a quantidade de sal que sai do tanque é de 3g/min, ou seja, y'(0) = 3, já que a solução ainda não foi diluída.

Assim, ficamos com:

y(0) = 700 -> a x e(b.0) = 700 -> como qualquer número elevado a zero = 1 -> a = 700

y'(0) = -3  -> a x b x e(b.0) = -3 -> b = -3 / 700 (a = 700 do item anterior)

A equação fica então:

y(t) = 700 x e(-3 x t / 700)

Respondendo a primeira questão:

0,1% da concentração inicial significa que a quantidade de sal deve ser de 700g * 0,001 = 0,7g

Aplicando na equação:

0,7 = 700 x e(-3 x t / 700)

e(-3 x t / 700) = 0,7 / 700 = 0,001

(-3 x t / 700) = ln (0,001) = -6,91

t ? 1.611 min (? 26,86h)

Respondendo a segunda questão:

Considera-se o valor estável quando o expoente do e atinge -10.

Assim, podemos estimar que -(3 / 700) x t = -10 -> t ? 2.333 min (? 38,9h)