Equações Diferenciais

Professor Pietro P.

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Respondeu há 9 anos

Fala meu amigo, vamos chamar de N(t) a quantidade de sal no tanque..então sabemos que N(0)=20 gramas de sal, foi o que ele disse no começo da questão. O que queremos saber é o N(10), certão? Para isso, temos que começar entendendo como a quantidade de sal N(t) está variando com o tempo dentro do tanque, ou seja, a taxa de variação de N(t) em relação ao tempo, opa, isso é dN(t)/dt. Mas calma ae, isso não é a taxa de variação? No caso do tanque, temos que analisar a quantidade de sal que entra e subtrair da quantidade de sal que sai:

dN(t)/dt=Taxa que entra - Taxa que sai(

Mas quem é a taxa que entra? Ele disse na questão!

Taxa que entra=(4 L/min) * (1 grama/L) = 4 gramas/min

E a taxa que entra é diferente? Naada! Só se liga que ele falou que o sal já sai completamente misturado...então a quantidade que sai é N(t) gramas/L? Não não! N(t) é tudo que tem no tanque! Você tem q dividir isso uniformemente pros 300 litros fixos(Repara que a quantidade de água que sai, é igual a que entra!) que tem no tanque! Então é N(t) gramas/(300 L)..ae sim, agora é uma taxa de saída, do outro jeito saía o sal todo em 1 litro, faz sentido? Náá...

Taxa que sai= (4 L/min) * (N(t) gramas/(300L))=4*N(t)/300 gramas/min = N(t)/75 gramas/min

Então substituindo:

dN(t)/dt=4-N(t)/75

dN(t)/dt+N(t)/75=4

Isso é uma EDO linear de primeira ordem, tem alguns caminhos pra resolver ela, isso seria uma ótima dar uma estudada se você não souber meu amigão! Bem, eu vou usar o fator integrante dessa vez:
você calcula um fator integrante u:

u=e^(integral(dt/75))=e^(t/75)

Se você não souber isso, da uma lidinha parceiro, seria muito ruim deduzir todo por essa formatação de texto super limitada. Você pega esse "u" e multiplica pela edo:

e^(t/75).dN(t)/dt+e^(t/75).N(t)/75=e^(t/75).4

Se você lembrar da regra da derivada do produto, vai ver que:

e^(t/75).dN(t)/dt+e^(t/75).N(t)/75=d(N(t).e^(t/75))/dt

Substituindo:

d(N(t).e^(t/75))/dt=4.e^(t/75)

Opa! Aquela EDO separável! Joga "t" pra um lado e deixa "N" no outro:
d(N(t).e^(t/75))=4.e^(t/75).dt

Integrando de ambos os lados:

integral(d(N(t).e^(t/75)))=N(t).e^(t/75)

integral(4.e^(t/75).dt)=4.75.e^(t/75)=300.e^(t/75)

Não esquece da constante de integração hen!

Então fica:

N(t).e^(t/75)=300.e^(t/75)+C

Mas não esquece quem em N(0)=20 gramas, ele disse na questão, então ó:

N(0).e^(0/75)=300.e^(0/75)+C -> N(0)-300=C -> C=20-300=-280

Assim ficou:

N(t).e^(t/75)=300.e^(t/75)-280

Dividindo tudo por e^(t/75):

N(t)=300-280.e^(-t/75)

Então N(10) é:

N(10)=300-280.e^(-10/75)=300-245,05=54,95 gramas de sal!

Bons ventos!