Exercício álgebra linear - transformação linear

Sim, existe. Os vetores (1,-1,1) e (1,1,1) são LI, logo haverá uma família de transformações lineares que os mapeia para os vetores desejados. Para resolver o problema, basta encontrar uma dessas possibilidades. Note que, dado um escalar a, temos que aT(1,-1,1)-a T(1,1,1)=T(a,-a,a)- T(a,a,a)=T(0,-2a,0)=(a,-a), portanto T(0,a,0)=(-a/2,a/2). Também notamos, por um argumento análogo, que T(b,0,b)=(b/2,b/2) para um escalar b arbitrário. Agora perceba que, se colocarmos T(b,0,0)=(b/2,b/2) e T(0,0,b)=(0,0), temos em particular que vale T(b,0,b)=(b/2,b/2), isso nos dá uma possível T que satisfaz o problema, com isso podemos concluir que a transformação T será: T(x,y,z)=((x-y)/2,(x+y)/2). Esta transformação claramente é linear e tem como domínio todo o R^3, além de ter imagem em R^2. Observe que T(1,-1,1)=((1-(-1))/2,(1+(-1))/2)=(1,0) e T(1,1,1)=((1+(-1))/2,(1+1)/2)=(0,1), como queríamos. Como foi dito anteriormente, há uma família inteira de transformações que satisfazem isso, fica como exercício tentar encontrar outra (dica: faça T(b,0,0)=(0,0)).

Não existe essa transformação linear uma vez que o conjunto de vetores B={(1,-1,1), (1,1,1)} não forma uma base do espaço R^3.

RESOLUÇÃO:
Sejam os vetores u(1,-1,1) e v(1, 1, 1). Seja o vetor w(0, 0, 1)
Comentários:
Propriedade: se T:V?W for uma transformação linear, então
T(a_1 v_1+a_2 v_2 )=a_1 T(v_1 )+a_2 T(v_2)
Os vetores u, v e w são linearmente independentes, formam uma base do R3.:
v=au+bv+cw
(x,y.z)=a(1,-1,1)+b(1, 1, 1) +c(0, 0, 1)
(x,y,z)=(a+b,-a+b,a+b+c)
Da igualdade acima, tem-se os sistemas:
{(a+b=x  ; -a+b=y)?
Resolvendo o sistema acima, encontramos:
a=(x-y)/2,b=(x+y)/2 (2)
Utilizando-se a propriedade acima e as equações anteriores
T(x,y,z)=aT(1,-1,1)+bT(1,1,1)
T(x,y,z)=((x-y))/2 *(1,0)+((x+y))/2*(0,1)
T(x,y,z)=((x-y)/2,(x+y)/2)
Para verificar basta substituir os vetores do R3.