Função exponencial: A bula de certo medicamento injetável informa que sua meia-vida é de 6 horas.

Professor Renato A.

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Respondeu há 8 anos

Olá, Andreia. Tudo bem?

O exercício nos diz que a função de decaimento da quantidade de medicamento no organismo é exponencial. Ou seja, ela pode ser descrita por uma função com a forma:

f(t) = Ae^(-k.t) (*)

A é a quantidade inicial, t é o tempo decorrido do instante inicial e k é uma constante positiva relacionada à taxa de decaimento.

Conhecendo o tempo de meia vida, 6h, podemos determinar k. Veja:

A função exponencial tem uma propriedade interessante, que pode ser traduzida no conceito de Tempo de meia-vida. Tempo de meia-vida é o tempo que vai levar, a partir de um dado instante qualquer, para a quantidade de medicamento se tornar metade da que é nesse dado instante.

Ou seja, se no instante inicial temos uma quantidade de A de medicamento (ou f(0), se preferir), depois de 6h teremos exatamente A/2.
Isso nos permite escrever, utilizando a expressão da função de decaimento (*):

f(6) = A/2 => Ae^(-6k) = A/2 => e(-6k) = 1/2

Tomando logarítmo na base 'e', que vou denotar por 'ln'', dos dois lados da equação acima:

-6k = ln(1/2) => k = ( ln 2 )/6

Pronto, conhecendo k, temos tudo para conhecer a expressão de f(t) e responder as perguntas.

A)
Nesse caso, A = 400mg, certo?
Considere que o instante inicial é às 6 da manhã. Quantas horas terão se passado até às 18:00? 12 horas. E até às 22:00? 16 horas.

Portanto, tudo que precisamos calcular é f(12) e f(16). Não vou escrever as contas para não ficar muito carregado. Basta substituir em (*) e usar os valores que temos de A e k. Se você tiver dificuldade com essa parte, me avise, por favor:

f(12) = 100mg, às 18:00
f(16) = 400/[2^(8/3)] = 63mg (aprox.), às 22:00

B)
Qual seria a quantidade de medicamento ANTES da aplicação da nova dose, às 6:00 do dia seguinte? Ora, é justamente a quantidade que estará presente após 24h. Pelo raciocínio anterior:

f(24) = 25mg

Assim, após a repetição da dose, teremos, no total, 425mg no organismo.
Para simplificar, podemos simplesmente "recomeçar o relógio". No novo instante inicial, temos 425mg.

Feito isso, basta procedermos como anteriormente, mas utilizado um novo A (A', se preferir), com o valor de 425mg.

Novamente, terão se passado 12h quando o relógio marcar 18:00 novamente, portanto basta calcularmos (novamente, estou omitindo as contas)

f(12) = 425e(-k.12) = 425/4 = 106.25mg, às 18:00

Se alguma passar não tiver ficado clara, por favor me avise que tentarei explicar de outra maneira. Desculpe por omitir as contas, mas é que eu acho que só confundiria mais pela dificuldade de escrevê-las aqui. É uma simples questão de manipular exponenciais e logarítmos.


Obs.: Se o exercício solicitasse apenas a quantidade às 18:00 em A), esse exercício poderia ser resolvido de maneira muito mais simples, utilizando apenas o conceito de Meia-Vida. Consegue ver por quê?

Espero ter ajudado. Um abraço!