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Olá, Albertino! Para começar, lembremos que uma integral imprópria de uma função sobre o intervalo é o limite de uma integral própria quando um dos extremos de integração (neste caso, )não está no domínio da função . No item a), temos que , e vemos que, de fato, não está no domínio de , então faz sentido considerar que a integral em questão é imprópriaAssim, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, se considerarmos que é uma antiderivada qualquer de (ou seja, ), precisamos apenas descobrir se o limite existe. Repare que usamos, na segunda igualdade, a aditividade dos limites e o fato de que toda antiderivada é contínua. Nossa questão, agora, se resume apenas em tentar encontrar o segundo limite.Para isto, utilizaremo um pouco de álgebra. Lembrando que , e que , temos Sabemos, então, que . Agora, utilizando a monotonicidade da integral , colocando , temos que , e então podemos concluir, pelo Teorema do Confronto, que, onde utilizamos o fato de que . Percebendo que é estritamente crescente e limitada, podemos afirmar que é limitada no infinito. Assim, existe, então nosso limite original também existe, e então a integral imprópria é convergente. No item b), adotaremos um método parecido. Neste caso, temos . Observe que, neste caso, tanto quanto estão fora do domínio de , mas a questão pode ser recolocada se percebermos que . Utilizando a aditividade da integral sobre intervalos, concluímos que , e o problema passa a ser o de calcular as duas integrais impróprias, uma em e outra em Para a primeira, observemos que , e então, utilizando novamente a monotonicidade da integral sobre funções não-negativas, temos. Então, vemos prontamente que , pois vai a quando vai a . Vemos então que a primeira integral imprópria diverge a . Para a segunda, o procedimento é similar: . A partir da última desigualdade, temos que . Juntando as desigualdades obtidas, vemos que , e então, pelo mesmo argumento da primeira parcela, temos que Seguimos, então, com . Vemos então que a segunda integral imprópria adquire valor positivo. Assim, podemos voltar ao limite original: , ou seja, a integral imprópria é divergente.

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Integrais impróprios

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Albertino perguntou há 4 anos

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2 respostas

Professor Henrique N.

Respondeu há 4 anos

Olá, Albertino!

Para começar, lembremos que uma integral imprópria de uma função $f$ sobre o intervalo $[p,q)$ é o limite de uma integral própria quando um dos extremos de integração (neste caso, $q$ )não está no domínio da função $f$ .

No item a), temos que

$f(x) = \frac{x^2\sin(x)}{x^5+x^2+1}, p = 3, q = \infty$ ,

e vemos que, de fato, $q$ não está no domínio de $f$ , então faz sentido considerar que a integral em questão é imprópria
Assim, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, se considerarmos que $F$ é uma antiderivada qualquer de $f$ (ou seja, $F'(x) = f(x)$ ), precisamos apenas descobrir se o limite

$\lim_{q\to\infty} \int_p^qf(x) dx = \lim_{q\to\infty} F(p) - F(q) = F(p) - \lim_{q\to\infty} F(q)$

existe. Repare que usamos, na segunda igualdade, a aditividade dos limites e o fato de que toda antiderivada é contínua. Nossa questão, agora, se resume apenas em tentar encontrar o segundo limite.
Para isto, utilizaremo um pouco de álgebra. Lembrando que $x \geq 1$ , $x \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 0$ e que $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ , temos

$\begin{cases} 0 \leq \sin ^2 (x) \leq 1 \\ 0 \leq x^5 \leq x^5 + x^2 + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 \leq x^2 \sin ^2 (x) \leq x^2 \\ \frac{1}{x^5+x^2+1} \leq \frac{1}{x^5} \end{cases} \Rightarrow 0 \leq \frac{x^2 \sin ^2 (x)}{x^5+x^2+1} = f(x) \leq \frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x^3}$

Sabemos, então, que

$0 \leq f(x) \leq x^{-3}$ .

Agora, utilizando a monotonicidade da integral , colocando $F(x) = \int_p^x f(x) dx$ , temos que

$0 = \int_p^x 0 dt \leq F(x) \leq \int_p^x t^{-3} dt = -\frac{1}{2t^2} \bigg|_{p}^{x} = \frac{-1}{2x^2} - \frac{-1}{2p^2}$ ,

e então podemos concluir, pelo Teorema do Confronto, que
$0 \leq \lim_{q\to\infty} F(x) \leq \lim_{q\to\infty} \frac{1}{2} (\frac{1}{p^2} - \frac{1}{q^2}) = \frac{1}{2p^2} - \lim_{q\to\infty} \frac{1}{2q^2}= \frac{1}{2p^2}$ ,

onde utilizamos o fato de que $\lim_{q\to\infty} \frac{1}{2q^2} = 0$ .

Percebendo que $F(x)$ é estritamente crescente e limitada, podemos afirmar que é limitada no infinito. Assim, $\lim_{q\to\infty} F(q)$ existe, então nosso limite original $\lim_{q\to\infty} \int_p^q f(x)dx$ também existe, e então a integral imprópria $\int_3^\infty \frac{x^2\sin (x)}{x^5+x^2+1}dx$ é convergente.

No item b), adotaremos um método parecido. Neste caso, temos

$f(x) = \frac{1}{x(2-x + \sqrt{2-x}}, p=0, q = 2$ . Observe que, neste caso, tanto $p$ quanto $q$ estão fora do domínio de $f$ , mas a questão pode ser recolocada se percebermos que

$(p,q) = (0,2) = (0,1] \cup [1,2) = (p,1]\cup [1,q)$ . Utilizando a aditividade da integral sobre intervalos, concluímos que

$\int_p^q f(x)dx = \int_p^1 f(x)dx + \int_1^q f(x)dx = \lim_{x\to p} \int_x^1 f(t)dt + \lim_{x\to q} \int_1^x f(t)dt$ , e o problema passa a ser o de calcular as duas integrais impróprias, uma em $(p,1]$ e outra em $[1,q)$

Para a primeira, observemos que

$0 < t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq 2-t + \sqrt{2-t} < 2+\sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{2+\sqrt{2}} < \frac{1}{2-t + \sqrt{2-t}} \Rightarrow \frac{1}{2+\sqrt{2}} \frac{1}{t} < \frac{1}{x(2-t + \sqrt{2-t})} = f(t)$ ,

e então, utilizando novamente a monotonicidade da integral sobre funções não-negativas, temos
$\int_x^1 f(t) dt > \frac{1}{2+\sqrt{2}}\int_x^1 \frac{1}{t} dt = -\frac{1}{2+\sqrt{2}}\int_1^x \frac{1}{t} dt = \frac{- \log (x)}{2 + \sqrt{2}}$ . Então, vemos prontamente que

$\lim_{x\to 0} \int_x^1 f(t)dt> \lim_{x\to 0} \frac{-\log (x)}{2 + \sqrt{2}} = +\infty$ , pois $\log (x)$ vai a $-\infty$ quando $x$ vai a $0$ . Vemos então que a primeira integral imprópria diverge a $+\infty$ .

Para a segunda, o procedimento é similar:

$1 \leq t <2 \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{2} < \frac{1}{t} \\ 0 < 2-t \leq 1 \end{cases}$ . A partir da última desigualdade, temos que

$0 < \sqrt{2-t} \leq 1 \Rightarrow 0 < 2-t + \sqrt{2-t} \leq 2-x + 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{3-t} \leq \frac{1}{2-t +\sqrt{2-t}}$ .

Juntando as desigualdades obtidas, vemos que

$0 < \frac{1}{2} \frac{1}{3-t} < \frac{1}{t} \frac{1}{2-t + \sqrt{2-t}} = f(t)$ , e então, pelo mesmo argumento da primeira parcela, temos que

$\int_1^x f(t)dt > \frac{1}{2} \int_1^x \frac{1}{3-t}dt = \frac{-\log (3-x)}{2}$
Seguimos, então, com

$\lim_{x\to 2} \int_1^x f(t)dt > \lim_{x\to 2} \frac{-\log (3-x)}{2} = \frac{-\log (3-2)}{2} = 0$ . Vemos então que a segunda integral imprópria adquire valor positivo.

Assim, podemos voltar ao limite original:

$\int_0^2 f(t)dt > +\infty + 0$ , ou seja, a integral imprópria é divergente.

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Professora Claudia S.

Respondeu há 4 anos

A integral imprópria também é conhecida como antiderivada Se vc precisar de explicações sgende sua aula demostrstiva onde posso te ajudar. Aguardo seu retorno Obrigada, Prof Claudia Física e Matemática