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Sejam r' e h' os respectivos raio da base e altura do cilindro. Assim, por semelhança de triângulos:
r'/r = (h - h')/h --> h' = h(1 - r'/r). Então, o volume do cilindro vale:
V' = pi.r'².h' = pi.h.r'².(1 - r'/r) = pi.h.(r'² - r'³/r)
Para que V' seja o maior valor possível, dV'/dr' = 0 e d²V'/dr'² < 0 para o valor de r' no qual dV'/dr' = 0.
Assim: dV'/dr' = pi.h.(2r' - 3r'²/r) = 0 --> r' = 0 ou r' = 2r/3.
Além disso: d²V'/dr'² = 2pi.h.(1 - 3r'/r). Se r' = 2r/3: d²V'/dr'² = 2pi.h.(1 - 2) = - 2pi.h < 0. Logo, para r' = 2r/3, V' é máximo.
Então: V'(máx) = ph.(4r²/9 - 8r³/27r) = pi.h.r².(12 - 8)/27 = 4pi.h.r²/27.
Resposta: 4pi.h.r²/27.
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