Matriz - questão de concurso

Professor Gustavo S.

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Respondeu há 5 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Primeiro, você precisa saber que uma matriz A multiplicado pela sua matriz inversa (A^-1) é igual à matriz identidade I.
Então A*A^-1 = I
Agora aplicamos uma propriedade de que o determinante do produto de quaisquer 2 matrizes A e B é igual ao determinante de A vezes o determinante de B. Ou seja, det (A*B) = det(A)*det(B).
Isso é importante pois se aplicarmos essa propriedade na expressão A*A^-1 = I, temos:
det (A*A^-1) = det(I)
det(A)*det(A^-1) = det (I)
E o determinante de I é sempre igual a 1.
Portanto o determinante da matriz inversa é det(A^-1) = 1/ det(A)
O determinante de A não vou explicar como calcula pois é longo pra explicar e eu suponho que você saiba como calcular. Mas neste caso ele vale -10 
Então temos que o determinante da inversa det(A^-1) = 1/(-10)
det(A^-1) = -1/10

Outra propriedade é que o determinante de uma matriz elevado à alguma potência é igual ao determinante da própria matriz, tudo isso elevado à potência. det(A^3) = (det(A))^3

Então no nosso caso:
det (A^3* (A^-1)^2) = (det(A))^3 * (det(A^-1))^2
det (A^3* (A^-1)^2) = (-10)^3 * (-1/10)^2
det (A^3* (A^-1)^2) = -10 

Espero não ter ficado confuso, qualquer coisa me envie uma mensagem particular que lhe explico mais detalhadamente.
Att
Gustavo