Números irracionais

Professor Cézar A.

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Respondeu há 9 meses

a) Não. Exemplo:  é irracional, mas 2 é racional.

b) Sim, pois todo racional pode ser escrito da forma p/q, com p e q inteiros e q sendo diferente de 0. Logo, ()² = (p/q)² = (p²/q²). Como p² e q² são inteiros e q² é diferente de 0, então ()² = x é racional.

c) Suponha que x é irracional e  é racional, então  é um racional ao quadrado, que é racional, logo, x seria racional, o que é um absurdo, pois, nossa afirmativa inicial era que x era irracional. Logo, se x é irracional, então  é irracional.

d) Não. Exemplo: 2 é racional, mas  é irracional.

Professor Matheus M.

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Respondeu há 9 meses

Perfeito, vamos analisar cada caso isoladamente:

(a) ?x irracional implica x irracional?
Não, isso é possível encontrar contraexemplos simples, como ?2 e ?3, que são números irracionais, enquanto 2 e 3 são racionais. 

(b) ?x racional implica x racional?
Sim, nesse caso precisamos provar: se ?x é racional, pode ser escrito como a/b (com a e b sendo inteiros e b diferente de zero), como x=(?x)², temos que x=(a/b)²=a²/b² = (a/b)(a/b). Como o produto de dois racionais é um racional, está correta a afirmação. 

(c) x irracional implica ?x irracional?
Sim, a prova é a negação do ítem b. Pela lógica temos que se uma afirmação leva a outra, a negação da segunda implica na negação da primeira. Mas ainda podemos pensar que como x não pode ser escrito como a/b, ?x também não pode.

(d) x racional implica ?x racional?

Não, utilizando a mesma ideia do ítem a, temos que 5 e 6 são racionais, mas ?5 e ?6 não. 

Lembrando que a definição mais clara de irracional são os números que não podem ser escritos em forma de fração. 

Espero que eu tenha ajudado!