Oi, alguém pode me ajudar por favoor

Professor David C.

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Respondeu há 3 anos

Assinale as equações que possuem exatamente duas soluções reais distintas. Escolha uma ou mais:

a) | x |² + | x | - 6 = 0

Solução.

Se x < 0:

(-x)² + (-x) -6 = 0

x² - x - 6 = 0

(x-3)(x+2) = 0

Logo a única solução quando x < 0 é x = -2.

Se x > 0:

x² + x - 6 = 0

(x+3)(x-2) = 0

Logo a única solução quando x > 0 é x = 2.

Portanto, a equação tem duas soluções reais distintas x = {-2, 2}.

b) |x - 2| + |x - 5| = 3

Solução.

Se x < 2

(-x + 2) + (-x +5) = 3

-2x + 7 = 3

7 - 3 = 2x

4 = 2x

x = 2

Não tem solução neste intervalo.

Se 2 <= x < 5

(x - 2) + (-x + 5) = 3

-2 + 5 = 3

3 = 3

Todo ponto no intervalo [2, 5) é solução da equação.

Se 5 <= x

(x - 2) + (x - 5) = 3

2x - 7 = 3

2x = 10

x = 5

Só x = 5 é solução da equação.

Portanto, a equação tem mais de duas soluções reais, o conjunto solução é [2, 5].

c) -x² - 1 = | x |

Solução.

Se x < 0:

-x² - 1 = -x

0 = x² - x + 1

Não tem solução real.

Se x > 0:

-x² - 1 = x

0 = x² + x + 1

Não tem solução real.

Portanto, a equação não tem soluções reais.

d) |2x² + 15x + 3| = x² + 2x - 3 

Solução.

Note que x² + 2x - 3 >= 0

(x - 1) (x + 3) >= 0

Logo, só temos solução nos intervalos x <= -3 ou 1 <= x.

Se x <= -3 ou 1 <= x

|2x² + 15x + 3| = x² + 2x - 3 

(2x² + 15x + 3)² = (x² + 2x - 3)²

4x⁴ + 60x³ + 237x² + 90x + 9 = x⁴ + 4x³ -2x² -12x + 9

3x⁴ + 56x³ + 239x² + 102x  =  0

Fatorando

x (3x + 17) (x² +13x + 6) = 0

Logo

x = 0

ou

x = - 17/3

ou

Logo as únicas soluções reais são