Olá!! Minha dúvida é a seguinte: Prove que se A ? B então A U (B - A) = B. Quem puder ajudar agradeço desde já.

Professor Renato A.

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Respondeu há 8 anos

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Olá, Regina. Tudo bem?

Primeiro temos que entender o que significa B - A. Trata-se é o complementar de A em relação a B.
Em outras palavras, B - A denota o conjunto que é composto por todos os elementos de B que não estão em A.

Entendido isso, precisamos mostrar que A U (B - A) = B. Como isso é feito? Bom, desenhando é fácil de se convencer. Mais formalmente, a igualdade entre dois conjuntos pode ser demonstrada da seguinte maneira:

Precisamos mostrar que:

A U (B - A) está contido em B (i)
e também
B está contido em A U (B - A) (ii)

Então vamos mostrar (i) e (ii):

(i) Seja y um elemento qualquer de A U (B - A)

Pela definição de união de conjuntos, y pertence a pelo menos um de {A, (B - A)}.
Em ambos os casos, como A está contido em B, y ∈ B.

Como y é um elemento qualquer de A U (B - A), podemos concluir que TODOS os elementos de A U (B - A) estão contidos em B. Portanto, [A U (B - A)] ⊂ B.

(ii) Seja x um elemento qualquer de B

Temos apenas duas opções:

Ou x ∈ (B - A) ou x ∈ A, já que A está contido em B.
Ora, então é claro que x ∈ [A U (B - A)].

Analogamente ao caso (i), como x é um elemento qualquer de B, concluímos que B ⊂ [A U (B - A)]

Pronto! (i) e (ii) são verdade se, e somente se, [A U (B - A)] = B!

Como eu disse, é fácil ver isso se fizermos um desenho genérico no papel. Além disso, suponha que B é, por exemplo, o conjunto universo. Então B - A é exatamente o complementar de A. Segue direto dos conceitos mais básicos de teoria dos conjuntos que A unido com seu complementar resulta no universo (isso é, B).

Espero que não tenha ficado formal demais e que tenha ajudado.
Me pergunte caso não tenha entendido alguma passagem. Um abraço!