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Matemática Intermediário

Considerando o teorema do valor intermediário, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.

I. Se f(a) = -1 e f(b) = 1, então a função f tem pelo menos uma raiz.

PORQUE

II. O teorema do valor intermediário nos garante que a função f possui uma raiz.

 

  1. As asserções I e II são proposições verdadeiras, a II é uma justificativa correta da I​

  2. ​As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I​​

  3. ​A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa​​

  4. ​A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira​​

  5. As asserções I e II são proposições falsas.

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João Pedro perguntou há 3 semanas

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Professor Roberto A.
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Alternatica correta é 1.
Pois Teorema do Valor Intermediário: Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e n é um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um ponto em (a, b) tal que f(c)=0.

Pela asserção 1, temos:

  • Se temos f(a)=-1e f(b)=1, e assumindo que f é contínua no intervalo [a, b], podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
  • O valor 0 está entre -1e 1.
  • Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c no intervalo (a, b) tal que f(c)=0. Isto significa que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Pela asserção 2, temos:

  • Para isso ser verdade, a função f deve ser contínua no intervalo considerado e os valores f(a) e f(b) devem estar em lados opostos do zero (um positivo e outro negativo).

Portanto, as asserções I e II são proposições verdadeiras, a II é uma justificativa correta da I.

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Professor Gerson R.
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Analisando as Afirmações:

Afirmação I: Se f(a)=1 e f(b)=1, então a função f tem pelo menos uma raiz.

  • Explicação: Para esta afirmação ser verdadeira, precisamos assumir que a função f é contínua no intervalo [a,b]. Isso porque o Teorema do Valor Intermediário (TVI) se aplica a funções contínuas.
  • O TVI diz que se uma função contínua passa de um valor negativo para um valor positivo (ou vice-versa) em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x em algum ponto desse intervalo. Isso significa que existe algum ponto entre e b onde f(c)=0.
  • Como f(a)=1 e , e assumindo a continuidade de f, então f deve cruzar o eixo x em algum ponto entre a e b. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Afirmação II: O Teorema do Valor Intermediário nos garante que a função f possui uma raiz.

  • Explicação: Esta afirmação fala sobre o que o TVI nos garante. O TVI diz que, para uma função contínua em um intervalo [a,b], se um valor k está entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um ponto c em (a,b) tal que f(c)=k.
  • No contexto da afirmação, estamos interessados em k=0. Assim, se f(a) e f(b) têm sinais opostos (um é negativo e o outro é positivo), então 0 está entre f(a) e f(b), e o TVI garante que existe pelo menos um ponto c onde f(c)=0. Portanto, a afirmação II é verdadeira.

Relação entre I e II:

  • Afirmativa II justifica a I: A II afirma que o TVI garante a existência de uma raiz (ou zero) para uma função contínua quando essa função passa de um valor negativo para um positivo (ou vice-versa) em um intervalo.
  • A I afirma que, dado f(a)=1 e f(b)=1, a função f tem pelo menos uma raiz.
  • A justificativa para I é justamente o TVI, que é o que a II descreve. Assim, a II é uma justificativa correta para a I.

Conclusão:

Dado que ambas as afirmações são verdadeiras e a II justifica a I, a resposta correta é:

  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
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Professora Julia T.
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Respondeu há 2 semanas

Alternativa correta é a 1

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