Polinomios duvida

Professor Ramon C.

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Respondeu há 2 anos

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Olá Lívia, boa noite, tudo bem?

Vamos estudar um pouco de pesquisa das raízes racionais em Polinomios? Vem comigo!

Foi dado um polinomio:

p(x) = -12.x^4+4.x^3+9.x^2-6.x+1

Vamos usar um teorema da pesquisa de raízes racionais. Vejamos como utilizar o teorema:

Se p(x) admite o número a/b como raiz, então a0 é divisor de a e a_n é divisor de b.

Esse teorema nos diz que, precisamos buscar raízes da forma:

{D(1)/D(12)}

Logo, os possíveis valores serão:

D(1) = {-1,1}

D(12) = {+-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-12}

Então, os números são da forma:

{-1;1;+-1/2;+-1/3;+-1/4;+-1/6;+-1/12}

Então, teremos que testar todas essas raízes, colocá -las no lugar do x para saber pelo menos uma ou duas raízes. Tomemos, por exemplo:

x=1 =>

-12.1^4+4.1^3+9.1^2-6.1+1=-4 

x=1 não é raiz

x=-1 =>

-12.(-1)^4+4.(-1)^3+9.(-1)^2-6.(-1)+1 = -16 + 9 + 6 + 1 = 0

Logo, x=-1 é raiz. 

Então, vamos tentar usar o dispositivo prático de Briott Ruffini para tentar simplificar nossa função polinomio. Temos assim:

-1| -12  4  9  -6 | 1|

      -12 16 -7  1  |0|

Abaixamos -12 e multiplicamos pela raiz -1 e somamos com 4 e fazemos isso com 16 e depois somamos 9, e assim suvesucessivamente até acabar. Desta maneira, o exercício nos reduz a encontrar as raízes restantes da função auxiliar:

-12.x^3+16.x^2-7.x+1 = 0

Vamos pesquisar raízes novamente pelo teorema, da forma:

{+-1;+-1/2;+-1/3;+-1/4;+-1/6;+-1/12}

Testando x=1/2 =>

-12.1/8 +16.1/4-7.1/2+1 =

= -3/2 + 4 - 7/2 + 1 = -5 + 5 = 0

Então x=1/2 também é raia

Aplicando novamente Briott Ruffini encontramos:

1/2 | -12  16  -7   |1|

         -12 10 -2  0

Logo, a equação se reduz a

-12.x^2+10.x-2 = 0

Usando a fórmula de bhaskara, vem:

x1=-b+VDelta/2.a =

= -10+V(100-4.(-12).(-2))/2.(-12)

= (-10+V4)/-24 = (-10+2)/-24 

x1 = -8/-24 = 1/3

x2 = -b-VDelta/2.a 

= (-10-2)/2.(-12) = -12/-24 = 1/2

Sendo assim, todas as raízes de p(x) são:

{1/2;1/3;-1;1/2}

1/2 é raiz dupla

Portanto as raízes racionais não inteiras são:

1/2 e 1/3

Espero ter ajudado! Bons estudos!

Professora Alícya M.

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Respondeu há 2 anos

Acredito que deva haver algum erro de digitação e que no primeiro termo seja, na verdade, x^4. Como todos os coeficientes são números reais, podemos usar o teorema das raízes racionais: dividir o termo independente (no caso o 1) pelo termo acompanhado ao x de maior expoente (no caso o 12), optando pelas sinais positivos e negativos, obtemos os possíveis candidatos às raízes do polinômio. Posteriormente, devemos testar essas raízes no polinômio para ver se são realmente efetivas. Se nenhuma funcionar, significa que não há raízes racionais.