Ponto de eficiência máxima

Passo 1: Derivar a Função de Produção

A derivada de Q(t) = -t³ + 9t² + 12t é R(t) = -3t² + 18t + 12, representando a taxa de produção em função do tempo.

Passo 2: Encontrar o Ponto de Máxima Eficiência

Os pontos críticos ocorrem quando R'(t) = 0, sendo eles t = 3 -  e t = 3 + . A análise da segunda derivada de R(t), R"(t) = 18 - 6t, determinou que a máxima eficiência ocorre em t = 3 +

Passo 3: Calcular a Taxa de Produção em t = 0 e t = 4

A taxa de produção no começo do turno (t=0) é R(0) = 12 unidades por hora, e em t = 4 horas, a taxa é R(4) = 36 unidades por hora. Esses valores mostram que, embora a produção aumente com o tempo até atingir seu pico, em t = 4, ela ainda está aumentando, mas não alcançou o pico de eficiência.

Resposta Final

1. A eficiência máxima ocorre aproximadamente 3 + horas após as 8h da manhã, o que corresponde aproximadamente às 11:06 da manhã.
2. A função taxa de produção, R(t) = -3t² + 18t + 12, é representada por uma parábola com a concavidade voltada para baixo, indicando que a eficiência aumenta até um ponto máximo e então começa a diminuir.
3. A taxa de produção no início do turno (t=0) é 12 unidades/hora, e em t = 4 horas, é 36 unidades/hora. Estes valores indicam que, apesar de a produção aumentar ao longo do tempo até atingir um pico, em t = 4, ela ainda está em processo de aumento, não tendo atingido ainda o pico de eficiência.

a) Uma das formas de se encontrar máximos e mínimos de funções polinomiais é derivando-as e igualando-as à 0.

Assim:

Fazendo , temos .

Utilizadno a fórmula de Bhaskara, temos e , sendo que o último valor é descartado por ser negativo.

 

Assim, a hora de eficiência máxima é .

b) A função da taxa de produção pode ser entendida como a variação da quantidade produzida por variação de tempo. Com isso, a derivada Q(t) no tempo pode ser entendida como R(t). Logo,

c)

A taxa máxima de produção ocorre quando. 

Assim, .

a) Para encontrar o ponto de eficiência máxima, precisamos encontrar o valor de t onde a taxa de produção é máxima. A taxa de produção é dada por \( R(t) = \frac{dQ}{dt} \). Para encontrar o ponto de eficiência máxima, precisamos encontrar onde a derivada \( R'(t) \) é zero. A função \( Q(t) = -t^3 + 9t^2 + 12t \). Para encontrar \( R(t) \), a derivada de \( Q(t) \) em relação a \( t \), calculamos \( Q'(t) \): \[ Q'(t) = -3t^2 + 18t + 12 \] Agora, igualamos \( Q'(t) \) a zero e resolvemos para encontrar os valores de t onde a taxa de produção é máxima: \[ -3t^2 + 18t + 12 = 0 \] \[ -3(t^2 - 6t - 4) = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática, obtemos: \[ t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2} \] \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} \] \[ t = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2} \] \[ t = 3 \pm \sqrt{13} \] Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa. Portanto, o trabalhador tem eficiência máxima às 8 horas mais aproximadamente 3.6 horas, ou seja, às 11h36. b) A função taxa de produção é \( R(t) = -3t^2 + 18t + 12 \). c) Para calcular a taxa de produção nos instantes \( t = 0 \) e \( t = 4 \), basta substituir os valores na função \( R(t) \): Para \( t = 0 \): \[ R(0) = -3(0)^2 + 18(0) + 12 = 12 \] Portanto, a taxa de produção em \( t = 0 \) é 12 unidades. Para \( t = 4 \): \[ R(4) = -3(4)^2 + 18(4) + 12 = -48 + 72 + 12 = 36 \] Portanto, a taxa de produção em \( t = 4 \) é 36 unidades. Comparando com a máxima, que ocorre em \( t = 3 + \sqrt{13} \) horas, calculamos \( R(3 + \sqrt{13}) \): \[ R(3 + \sqrt{13}) = -3(3 + \sqrt{13})^2 + 18(3 + \sqrt{13}) + 12 \approx 44.54 \] Portanto, a eficiência máxima ocorre em torno de 11h36, e a taxa de produção máxima é aproximadamente 44.54 unidades por hora.