Progressões - áreas planas

Bom dia, Luís. Este é um caso interessante de analisar o que está acontecendo na progressão antes de postular o resultado. Como sabemos da geometria plana, a fórmula da área de um retângulo é dada por A = a.b, onde a e b são seus lados. Assim, sabemos que para o primeiro retângulo, sua área, A1 é igual a A, pois seus lados são a e b. Já para o segundo retângulo, temos uma base b + 1, com a altura continuando igual. A área A2 resulta em (b+1).a . Mas podemos reescrever isso, fazendo a distributiva. Ficamos com A2 = a.b + a. Como sabemos que a.b é a área do retângulo 1, podemos reescrever novamente o resultado, ficando com A2 = A1 + a. Neste momento, parece que encontramos uma razão entre o incremento das áreas. Vamos fazer A3 para confirmar o resultado encontrado. A3 será a área do terceiro retângulo, com base (b+2) e altura a. A3 = (b+2).a = a.b + 2.a = A1 + 2.a Como A3 = A1 + 2.a, então a razão que encontramos se aplica. A área dos retângulos está aumentando a uma razão a. Como a razão está sendo sempre somada ao valor da primeira área, aumentando o valor das áreas de forma igual, trata-se de uma progressão aritmética de razão a. Como podemos perceber, pela fórmula empregada, a área do retângulo n (por exemplo, o 10º retângulo), será igual a área do primeiro retângulo (A1, ou a.b), mais (n-1).a (ou, no caso do 10º retângulo, 9.a). Assim, formulando isso, temos que An = a.b + a(n-1). Como o fator a, na frente das multiplicações, é comum aos dois termos, podemos juntar tudo e deixar o resultado como An = a.(b + n - 1). Na questão apresentada, seriam afirmativas II e IV, letra D. Espero ter ajudado :) bons estudos

Olá, Luis, todas as afirmativas se referem à área do retângulo, ou seja, produto da base com a altura. Para o primeiro retângulo, a área é a*b. Para o segundo: a*(b+1) = a*b + a. Para o terceiro: a*b + 2a. Nota-se que a área sempre aumenta em "a" unidades. Assim, é PA com razão a. Quanto à IV, vimos que: A1 = a*b = a*(b+0) A2 = a*(b+1) A3 = a*(b+2), ou seja, o b é somado a um número que é uma unidade menor que o índice do retângulo, ou seja: An = a * (b + (n-1)) = a*(b+n-1)