Um piloto de fórmula 1 tem 50% de chance de vencer uma corrida sob chuva, mas se não
chover, suas chances caem para 25%. Os serviços de meteorologia estimam em 30% a probabilidade de que
chova durante a corrida. Qual a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu?
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Para calcular a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu, podemos usar o Teorema de Bayes. Vamos denotar os eventos da seguinte forma:
A = Chove durante a corrida.
B = O piloto vence a corrida.
Precisamos calcular P(A|B), ou seja, a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu. Podemos usar o Teorema de Bayes para isso:
P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)
Onde:
- P(B|A) é a probabilidade de o piloto vencer dado que choveu. Isso é 50% ou 0,5.
- P(A) é a probabilidade de chover durante a corrida, que é 30% ou 0,3.
- P(B) é a probabilidade de o piloto vencer, que podemos calcular considerando as duas situações possíveis: vencer sob chuva (50% de chance) e vencer sem chuva (25% de chance), multiplicadas pela probabilidade de chover (30% de chance) ou seja:
P(B) = [P(B|A) * P(A)] + [P(B|¬A) * P(¬A)]
P(B) = (0,5 * 0,3) + (0,25 * 0,7)
P(B) = 0,15 + 0,175
P(B) = 0,325
Agora, podemos calcular P(A|B):
P(A|B) = (0,5 * 0,3) / 0,325
P(A|B) = 0,15 / 0,325
P(A|B) ? 0,4615
Portanto, a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu é aproximadamente 46,15%.
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O primeiro passo é calcular a propabilidade associada dos dois casos.
Se ele tem 0.5 de chance de vercer na chuva e tem 0.3 chance de chover, então há
0.5 * 0.3 = 0.15 chance de vencer por essa condição.
Se ele tem 0.25 de chance de vencer sem chuva e a probabilidade de não-chove é a probabilidade complementar da chuva, temos
0.25 * (1 - 0.3) = 0.175
O universo Vitória é a soma dessas duas probabilidades:
0.15 = 0.175 = 0.325
A probabilidade de ter vencido na Chuva é a probabilidade de vencer chovendo sobre a propabilidade da vitória em todos os cenários:
0.15/0.325 = 0.4615
Ou seja, 46,15 %
Transforme em decimal e multiplique para eventos em conjunto.
Chance de ganhar com chuva * chance de chover = 0,5*0,3 = 0,15
Chance de ganhar sem chuva = 0,25 * 0,7 = 0,175
Ou seja, dentre as chances de ganhar, a que ocorre chuva é calculada assim:
0,15/(0,15+0,175) = 46,15%
46,15 %
Podemos calcular a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu usando o Teorema de Bayes. Vamos denotar:
A: O evento de que o piloto venceu.
B: O evento de que choveu durante a corrida.
Queremos calcular a probabilidade condicional de B dado A, ou seja, P(B|A).
O Teorema de Bayes nos diz que:
Neste caso, temos as seguintes informações:
1. A probabilidade de o piloto vencer se chover é de 50%, ou seja, P(A|B) = 0.5.
2. A probabilidade de chover durante a corrida é de 30%, ou seja, P(B) = 0.3.
3. A probabilidade de o piloto vencer se não chover é de 25%, ou seja, P(A|¬B) = 0.25.
Agora, vamos calcular a probabilidade de o piloto vencer, levando em consideração tanto o caso de chuva quanto o caso de não chuva:
Onde:
- é a probabilidade de o piloto vencer e chover, que é .
- é a probabilidade de o piloto vencer e não chover, que é.
A probabilidade de não chover (¬B) é o complemento da probabilidade de chover, ou seja, .
Agora, podemos calcular:
Agora, podemos calcular a probabilidade de o piloto vencer, que é a soma das probabilidades nos casos de chuva e não chuva:
Agora, podemos usar o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu:
Portanto, a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu é aproximadamente 46.15%.
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