Qual o numero mínimo de candidatos?

Question

Alguém poderia resolver e me explicar essa questão:

Qual é o número mínimo de candidatos que devem fazer uma prova de conhecimentos gerais com 10 questões de "verdadeiro" ou "falso" para garantir que, pelo menos, três deles tenham a mesma sequência de respostas?

Obrigado.

Rafael A. · Accepted Answer

Perceba que, uma vez que cada pergunta tem duas opções de resposta (''Verdadeiro'' ou ''Falso'') e a prova tem 10 questões, temos um total de  maneiras de preenchê-la, pelo princípio multiplicativo da análise combinatória (isto é, multiplicamos 10 fatores ''2'' entre si). Se tivéssemos  candidatos, poderíamos ter cada sequência de respostas exatamente duas vezes; se tivéssemos menos candidatos, poderíamos ter, raciocinando de modo semelhante, no máximo dois candidatos por cada sequência. Assim, para garantir a condição da questão, precisamos de, no mínimo,  candidatos. Espero ter ajudado!

Marcos T. · Answer

quais são as alternativas?

Fabrício G. · Answer

Para garantir que pelo menos três candidatos tenham a mesma sequência de respostas, precisamos ter pelo menos três candidatos com a mesma sequência de respostas.  Existem 2 possibilidades para cada uma das 10 questões, ou seja, existem 2^10 = 1024 possíveis sequências de respostas.  Para garantir que pelo menos três candidatos tenham a mesma sequência de respostas, precisamos de pelo menos 1024 + 1 candidatos. Isso ocorre porque se houver 1024 candidatos, cada um pode ter uma sequência de respostas diferente, mas se adicionarmos mais um candidato, haverá pelo menos uma sequência de respostas repetida.  Portanto, o número mínimo de candidatos necessários é 1025.

Maxuel R. · Answer

Para garantir que pelo menos três candidatos tenham a mesma sequência de respostas em uma prova com 10 questões de ''verdadeiro'' ou ''falso'', precisamos usar o princípio do Pigeonhole (ou princípio da casa dos pombos). Nesse caso, cada sequência de respostas possível representa um ''pombo'', e os candidatos são as ''casas''. O número máximo de sequências de respostas distintas em uma prova de 10 questões de ''verdadeiro'' ou ''falso'' é 2^10 (1024), pois cada questão tem duas opções possíveis. Portanto, precisamos determinar o número mínimo de candidatos necessário para garantir que pelo menos três deles tenham a mesma sequência de respostas. Usando o princípio do Pigeonhole, sabemos que: Número mínimo de candidatos = número de sequências de respostas distintas + 1 Número mínimo de candidatos = 1024 + 1 Número mínimo de candidatos = 1025

Fabricio J. · Answer

Basta elevar o número de respostas 2 (verdadeiro ou falso) a décima potência   Ou seja, 2^10 = 1024

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