Considere a função f : R --> R definida por
f(x) = { x^2 se x ≥ 0
{ x se x < 0
Mostre que f é bijetora.
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Considere a função f : R --> R definida por
Solução.
Considere a, b tales que f(a) = f(b)
Se a < 0 e b < 0
Se a < 0 e b >= 0
o que contradiz o fato que a < 0, logo neste caso, não pode acontecer f(a) = f(b)
Se a >= 0 e b < 0
o que contradiz o fato que b < 0, logo neste caso, não pode acontecer f(a) = f(b)
Se a >= 0 e b >= 0
Se a + b = 0, então 0<= a = -b <= 0, o que implica que a = b = 0
Se a + b > 0, então
Portanto, se f(a) = f(b), então a = b; logo f é injetora.
Seja k um número real.
Se k < 0, defina x = k, então
Se k >=0, defina x = , então
Segue-se que f é sobrejetora.
Portanto, f é bijetora.
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