Raciocínio lógico

Bom dia Joy. Vamos modelar o exercício da seguinte maneira: A caneta serão denotadas por c1, c2, c3, c4 e c5. Os estojos pelas iniciais das respectivas cores: A (amarelo), R (rosa), P (preto). Segundo as informações do item, temos que os estojos A e R devem ter ao menos uma caneta, enquanto o estojo P pode ficar vazio. Para entender completamente o problema, faremos sem fórmulas e "destrinchando" todos os casos. Como as canetas são distintas, temos o seguinte particionamento: P VAZIO: A com 1 caneta e, consequentemente, R com 4 canetas: Perceba que A pode ter uma caneta de 5 maneiras diferentes, mas qualquer caneta em A já determina a configuração de R (esse fato será repetido em todas as configurações para P vazio, pois determinar o conteúdo de um dos estojos implica em determinar o conteúdo do outro), portanto, temos 5 maneiras distintas de colocar 1 caneta em A e 4 canetas em R. P VAZIO: A com 2 canetas e, consequentemente, R com 3 canetas: Temos 10 maneiras (5·4/2) de colocar 2 canetas em A, pois poderíamos colocar qualquer uma das 5 canetas e depois qualquer uma das 4 canetas restantes, mas a configuração c1c2 é igual a configuração c2c1, portanto devemos dividir por 2. Portanto, 10 maneiras de termos 2 canetas em A e 3 canetas em R. P VAZIO: A com 3 canetas e, consequentemente, R com 2 canetas: Novamente, podemos escolher qualquer uma das 5 canetas para uma determinada "posição" em A, depois qualquer uma das outras 4 para uma segunda posição, e, por fim, qualquer uma das 3 para uma terceira posição. No entanto, a configuração c1c2c3 é idêntica a configuração c1c3c2 e qualquer outra com essas três canetas (c2c1c3; c2c3c1; c3c1c2 e c3c2c1), portanto, devemos dividir por 6 (3!) para determinarmos o total de possibilidades. Logo, temos que 5 · 4 · 3 / 6 = 10 maneiras. NOTA: Perceba que a quantidade de possibilidades distintas de A com 2 e R com 3 equivale ao número de possibilidade de A com 3 e R com 2. Usaremos esse resultado de agora em diante. Por fim, para P VAZIO: A com 4 canetas e, consequentemente, R com 1 caneta: Perceba que avaliar A com 4 canetas e R com uma caneta equivale a avaliar R com 1 caneta e A com 4 canetas. Portanto, temos 5 maneiras de deixar o estojo A com 4 canetas e o estojo R com 1 caneta. OBSERVAÇÃO: Até agora, temos 5 + 10 + 10 + 5 = 30 maneiras distintas, o que elimina a alternativa A. Agora, vamos avaliar os casos em que P possui 1 caneta: P com 1 caneta: A com 1 caneta, e consequentemente, R com 3 canetas: Usaremos, a partir daqui, o famoso Princípio Multiplicativo (Princípio Fundamental da Contagem - PFC). Perceba que podemos colocar qualquer uma das 5 canetas em P. (5 maneiras) Dado que colocamos uma caneta em P, podemos colocar qualquer uma das 4 canetas restantes em A, determinando assim a configuração de R. Portanto, temos 20 maneiras distintas de ter 1 caneta em P, 1 caneta em A e 3 canetas em R. P com 1 caneta: A com 2 canetas, e consequentemente, R com 2 canetas: Usando a discussão já feita, temos 5 maneiras de colocar 1 caneta em P. Dado que colocamos 1 caneta em P, temos 6 maneiras de colocar 2 canetas em A, pois poderíamos colocar qualquer uma das 4 canetas e depois qualquer uma das 3 canetas restantes, mas a configuração c1c2 é igual a configuração c2c1, portanto devemos dividir por 2. Portanto, 30 maneiras de termos 1 caneta em P, 2 canetas em A e 2 canetas em R. Por fim, para R com 1 caneta: A com 3 canetas, e consequentemente, R com 1 caneta: Novamente, temos 5 maneiras de colocar 5 canetas em P. Além disso, colocar 3 canetas em A e 1 em R equivale a colocar 1 caneta em R e 3 canetas em A. Portanto, temos 20 possibilidades de fazer isso. OBSERVAÇÃO: Até agora, temos 30 + 20 + 30 + 20 = 100 maneiras distintas, o que elimina a alternativa B. Agora, vamos avaliar os casos em que P possui 2 canetas: P com 2 canetas: A com 1 caneta, e consequentemente, R com 2 canetas: Perceba que podemos colocar 2 canetas em P de 10 maneiras distintas. Dado que colocamos duas caneta em P, podemos colocar qualquer uma das 3 canetas restantes em A, determinando assim a configuração de R. Portanto, temos 30 maneiras distintas de ter 2 canetas em P, 1 caneta em A e 2 canetas em R. P com 2 canetas: A com 2 canetas, e consequentemente, R com 1 caneta: Novamente, o número de possibilidades é igual a 30. OBSERVAÇÃO: Até agora, temos 100 + 30 + 30 = 160 maneiras distintas. Para finalizar o exercício: P com 3 canetas: A com 1 caneta, e consequentemente, R com 1 caneta: 3 canetas em P: 10 maneiras. Dado que colocamos 3 canetas em P, temos 2 possibilidades de canetas para A. Portanto, temos 20 maneiras de colocar 3 canetas em P, 1 caneta em A e 1 caneta em R. Logo, o total de maneiras distintas é 160 + 20 = 180 maneiras. Alternativa D. O exercício poderia ter sido simplificado caso utilizássemos as benditas fórmulas, mas parto da premissa que a construção do raciocínio precede a utilização das fórmulas. Espero ter ajudado. Atenciosamente,

Joy, vamos designar os estojos amarelo por a, rosa por r e preto por p. O que precisamos é calcular são todas as soluções inteiras possíveis para a equação a+r+p=5, sendo que a>0, r>0 e p>ou=0. Para considerarmos as soluções como uma permutação de elementos repetidos, temos que fazer uma pequena modificação na equação. Considere (a-1)+(r-1)+p=5-1-1, teremos novas variáveis a'+r'+p=3 sendo todas maiores ou iguais a zero. Temos, agora, três canetas ||| para serem separadas por dois símbolos de adição ++, A quantidade de soluções para a equação será dada pela permutação dos símbolos |||++, por exemplo, esta distribuição significa 3 canetas para a', 0 canetas para r'e 0 canetas para p. Voltando a equação inicial teremos 4 canetas na gaveta amarela, 1caneta na gaveta rosa e a gata preta ficará vazia. A quantidade de distribuições será de permutação de 5 símbolos sendo que um deles aparece três vezes e o outro duas vezes 5!/(2!.3!) que totaliza 10 possibilidades . Não há opção de resposta.