Suponhaa que um grupo G satisfaça a x*y=z*x implicando que y=z. Mostra que G é abeliano.
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Um grupo é abeliano (ou comutativo) se, para todo x e y em G, a operação x*y é igual a y*x. Vamos provar que G é abeliano, com base na propriedade que foi dada: para qualquer x, y, z em G, se x*y=z*x, então y=z.
1) Para qualquer elemento x em G, x*e = e*x.
Isso é verdade porque e é o elemento neutro do grupo, e portanto x*e = x = e*x.
2) Para todo x em G, se x*y = y*x, então y = x.
Isso decorre diretamente da propriedade dada.
Combinando 1) e 2), para qualquer x e y em G, temos x*y = y*x. Isso mostra que G é abeliano.
Por fim, vale ressaltar que a propriedade dada é bastante forte e não é satisfeita por muitos grupos. De fato, ela é equivalente à condição de que o grupo seja abeliano.
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