Resposta com resolução muito grato

Professor Evandro E.

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Respondeu há 4 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Olá, Guilherme!

Considerando a matriz de quadrada de ordem 2: 

A = [cos(25º)   sin(65º); sin(120º)   cos(390º)] 

Obsevação:

 a11=cos(25º)   {linha 1 coluna 1} 

 a12=sin(65º)   {linha 1 coluna 2} 

 a21=sin(120º)   {linha 2 coluna 1} 

 a22=cos(390º)   {linha 2 coluna 2} 

Ok? 

Antes de resolvermos o determinante da matriz A, lembremos que: 

Os ângulos de 25º e 65º são ângulos complementares! 

O ângulo de 390º corresponde a 360º + 30º. Ou seja, podemos simplificar 390º para 30º. 

O ângulo de 120º corresponde a 120º = 180º - 60º. Ou seja, podemos simplificar 120º para 60º. 

Então, os ângulos de 30º (referente ao 390º) e 60º (referente ao 60º) são ângulos complementares! 

Dessa forma, cos(25º)=sin(65º) 

E também, sin(120º)=sin(60) e cos(390º)=cos(30º). Dessa forma, sin(120º)=cos(390º) 

Substituindo na matriz, temos: 

A = [cos(25º)   sin(65º); sin(120º)   cos(390º)] 

A = [sin(65º)   sin(65º); cos(390º)   cos(390º)] 

Calculando o determinante da matriz A, tem-se: 

det(A) = |sin(65º)   sin(65º); cos(390º)   cos(390º)| 

det(A) = {sin(65º)*cos(390º)} - {sin(65º)*cos(390º)} 

det(A) = 0 

E é isso! Bons estudos!!

Observação2: Uma alternativa para confirmar as igualdades abaixo (para ângulos complementares), é representar o triângulo retângulo e os respectivos ângulos. 

cos(25º)=sin(65º)   EQ (01) 

sin(120º)=cos(390º)   =>   sin(60º)=cos(30º)   EQ (02) 

Para a EQ (01), considere o triângulo ABC, com ângulo reto (90º) em A. (Faça o desenho do triângulo retângulo) 

 b = AB   (cateto 1) 

 c = AC   (cateto 2) 

 a = BC   (hipotenusa) 

Lembrando que ângulo A é reto (90º)! Supondo que ângulo B=25º. 

Então, cos(25º)=(Cat. Adj.)/Hipotenusa   =>   cos(25º)=(cateto 1)/hipotenusa   =>   cos(25º)=b/a   EQ (03) 

Como a soma dos ângulos de um triângulo deve ser 180º, então, ângulo C=65º. 

Logo, sin(65º)=(Cat. Opo.)/Hipotenusa   =>   sin(65º)=(cateto 1)/hipotenusa   =>   sin(65º)=b/a   EQ (04) 

Portanto, percebemos por EQ (03) e EQ (04) que cos(25º) = b/a = sin(65º), ou seja, cos(25º)=sin(65º) 

Professora Lidiane G.

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Respondeu há 4 anos

Olá Guilherme,

para o calculo do determinante desta matriz nos não precisaremos dos valores do seno e cosseno.

Basta lembrarmos de algumas propriedades de trigonometria:

i) Seno e cosseno de ângulos complementares (soma igual a 90º) são iguais (25º + 65º = 90º). Assim cos25º = sen65º

ii) Ângulos maiores que 360º (um volta completa) basta subtrair e considerar o valor restante (390º - 360º = 30º). Assim cos390º = cos30º

iii) De forma análogo podemos pensar no ângulo de 120º (180º - 60º). Assim sen120º = sen60º

Logo, como 30º e 60º são complementares, cos30º = sen60º

Para ficar mais claro as igualdade vamos substituir na matriz:

cos25º = sen65º = a

cos30º = sen60º = b

| a    a |

| b    b |

Para calcular o determinante de uma matriz 2x2 basta subtrair os produtos da diagonal principal e diagonal segundaria.

Det = ab - ab = 0

Se gostou marque como melhor resposta, me ajuda muito...

Espero que tenha ajudado,

estou a disposição.

Fique bem!