Sabendo que 7 é uma das raízes de um dos polinômios dados na divisão podemos afirmar que, depois de simplificada a fraçao dada poderá se apresentada como?

Não está certo. Quando temos uma soma no numerador, devemos lembrar que cada um dos termos da soma é dividido por todo o denominador. Por exemplo: (x^2+2x)/(2x+1) -> pode ser escrito como -> (x^2)/(2x+1) + (2x)/(2x+1) Portanto, você não pode fazer como faria na multiplicação! Na multiplicação você pode fazer as simplificações que você fez! O jeito que eu faria é o seguinte: Aplicaria as equações de Girard. Sejam x1, x2 e x3 as raízes de um polinômio de terceiro grau, temos: x1 + x2 + x3 = – b/a x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a x1 * x2 * x3 = – d/a Isto é válido para qualquer polinômio! Vamos pensar no numerador primeiro. Como ele da que 7 é raiz de um dos dois, vamos começar tentando com o 7 no numerador: 7 +(x2)+(x3) = 9/1 -> (x2) = 9-7-(x3) -> (x2)=2-(x3) vou pular a segunda equação pois só precisaremos de duas equações neste caso. 7.(x2).(x3)=15 -> usando a equação acima em (x2)-> 7.(2-(x3)).(x3)=15-> [14-7(x3)](x3)=15-> 14(x3) -7(x3)^2 = 15 -> -7(x3)^2 +14(x3) -15=0 -> fazendo bhaskara, chegaremos que (x3) é um número complexo! Portanto, (7) não é raiz do numerador! Vamos então tentar para o denominador, com o mesmo processo! 7+(x2)+(x3)=15 -> (x2) = 8-(x3) 7.(x2).(x3) = 105 -> 7[8-(x3)](x3) = 56(x3) - 7(x3)^2 =105 -> resolvendo bhaskara, temos que (x3) = 3 ou (x3) = 5 -> podemos agora encontrar os valores de (x2)-> veremos que (x2) = 5 ou (x3) = 3. Portanto encontramos as três raízes do denominador. São elas 3, 5 e 7. Portanto, nosso denominador pode ser escrito como: (x-3)(x-5)(x-7) A única forma de conseguirmos simplificar o numerador com o denominador, é eles tendo raízes em comum. Façamos o mesmo processo que fizemos acima, primeiro com a raiz (3) depois com a raiz (5), se uma delas cair em resultados complexos, ela não é raiz. Caso contrário, como aconteceu no denominador quando usamos o (7), teremos os valores das raízes. Vou pular o processo pois deixaria a resposta maior ainda! Basta proceder DA MESMA FORMA que foi feito para o denominador com a raiz (7). Chegaremos que as raízes do numerador são 1, 3 e 5. Desta forma, nosso numerador pode ser escrito como: (x-1)(x-3)(x-5) Juntado numerador e denominador: [(x-1)(x-3)(x-5)]/[(x-3)(x-5)(x-7)] Agora, como só temos multiplicações, podemos simplificar da forma que você fez. (x-3) e (x-5) tem em cima e embaixo! Podem ser simplificados. Sobram então: (x-1)/(x-7) E é esta a resposta! Infelizmente a resposta ficou bem grande. Caso tenha alguma dúvida, me envie uma mensagem! Abraços!