Soma da progressão geométrica

Professor Fagner B.

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Respondeu há 2 meses

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Os dados da questão são que em 2010 (ano de inauguração) produziu-se 1000 ovos e apartir daí a produção aumenta 50% em relação ao ano anterior.

Assim, 

chamando de a_n o valor produzido no ano n e q a razão de aumento, tem-se que:

no ano n = 1, a₁ = 1000

n = 2, a₂ = 1000 + 1000x0,5 = 1000x(1+0,5) = 1000x1,5 = 1500

n = 3, a₃ = 1500 + 1500x0,5 = 1500x(1+0,5) = 1500x(1,5) ou 1000x1,5x(1,5) = 1000x1,5²

assim, sabendo que o primeiro termo (valor produzido no ano 1) é 1000, a razão da P.G pode ser encontrada por visualização: q = 1,5;

ou ainda fazendo o cociente (divisão) do segundo termo, n=2, pelo primeiro termo, n=1, ou seja: q = a₂ / a₁ = 1500 / 1000 = 1,5

Agora que temos essas informações podemos usar a fórmula que os matemáticos desenvolveram para a soma de n valores de uma P.G: 

S_n = (a₁*qⁿ-a1)/(q-1)

para o ano 2010, n = 1; para 2011, n = 2; para 2012, n = 3; ...; para 2015, n = 6

agora é só aplicar na fórmula:

S₆= (1000*1,5⁶-1000)/(1,5-1) = 20781.25

Como NÃO existe 0.25 ovo de páscoa, pode-se dizer que, em toda a história da fábrica, foram produzidos 20781 ovos (...e algumas raspas hehe).

É isso! gostou?! ainda tem dúvida? quer aula desse assunto com mais detalhe ou de outros assuntos de matemática, chama! marca uma aula comigo. Obrigado e até a próxima!

Professora Nathana S.

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Respondeu há 2 meses

Vamos calcular a produção anual da fábrica ano a ano, considerando um aumento de 50% a cada ano a partir de 2010.

Se em 2010 a fábrica produziu 1000 ovos e em 2011 produziu 50% a mais, podemos afirmar que em 2011 foram produzidos:  1000 x 1,5 = 1500

Se a cada ano vemos o mesmo crescimento, temos então uma PG crescente, em que a₁ = 1000 e a₂ = 1500. Para encontrar a razão q, basta dividir a₂ por a₁:

q = 1500 
      1000

q = 1,5

Contando com a páscoa de 2015, nesse ano a fábrica terá registrado a produção de 6 anos . Portanto, nossa PG terá n=6. Sabendo que a₁ = 1000 e q = 1,5, temos:

S_n = a₁ . 1 – qⁿ
               1 – q

S₆ = 1000 . 1 – (1,5)⁶
                 1 – 1,5

S₆ = 1000 . 1 – (3/2)⁶
                           – 0,5

S₆ = 1000 . 1 – (729/64)⁶
                              – 0,5

S₆ = 1000 . 1 – 11,390625
                          – 0,5

S₆ = 1000 . – 10,390625
                   – 0,5

S₆ = 1000 .20,78125
S₆ = 20781,25

(arredondado para o inteiro mais próximo)

A empresa terá produzido aproximadamente 20.781 ovos de páscoa.

Professor Daniel F.

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Respondeu há 2 meses

Em 2010 foram produzidos 1000 ovos de páscoa. 
No ano seguinte houve um aumento de 50%

Veja que temos uma sequência que obedece um padrão de crescimento, visto que, há um aumento de 50%, devemos multiplicar sempre a quantia do ano anterior por 1,50.

Sn = a1 (qⁿ   1) 
           q   1

Sn = 1000 [(1,5^6)   1)] 
                  1,5 - 1

Sn = 1000 . (11,39 - 1)
          -------------------
                     0,5

Sn = 1000 . 10,39
          ---------------
                 0,5

Sn = 20780 

Professora Larissa M.

Respondeu há 2 meses

Olá, tudo bem? 

O ponto da questão é: qual a soma da produção de chocolate de todos os anos (desde que a fábrica começou)?

A produção aumenta 50% a cada ano, isto é, 50/100 = 1/2 = 0,5 . Esse valor será nosso q => a razão de nossa PG!

a1 = 1000

n = 2015 - 2010 = 5

Assim, é só aplicar a fórmula da soma da PG finita! Lembra dela?

S(5) = 1000 ( 0,5^5 -1) / 0,5 - 1

Lembra como resolver essa coisinha aí? A prioridade é resolver primeiro a potência!

S(5) = 1000 . (0,03125 - 1) / -0,5 = 1000. (-0,96875) / -0,5 = -968,75 / -0,5 ~ 1937,5

1937, 5 o quê??? Maçãs?

Não! A soma dos ovos de Páscoa produzidos desde que a fábrica começou em 2010 é 1937,50.