Para a descrição do critério de divisibilidade por 11, também utilizaremos um exemplo. Seja n um número de 5 digitos abcde. Como sabemos esse pode ser representado como: n= aX10⁴ + bX10³ + cX10² + dX10 + é. Fazemos as seguintes substituiçoes: I. 10 = 10-1; II. 100 = 99 + 1; III. 1000 = 1001 - 1; IV. 10000-9999 + 1.
obtemos: a(9999 + 1) + b(1001 - 1) + c(99 + 1) + 4(11 - 1) + c =\ 999a + 1001b + 99c + 11d + [(a + c + epsilon) - (b + d)] .
Como 9999a+1001b+99c+11d é divisivel por 11, então n será divisivel por 11, se, e somente se, [(a+c+e)-(b+d)] o for. Observe que os dígitos a, c e ocupam posições impares em abcde enquanto be d posições pares. Nesta última sentença, utilizamos dois fatos elementares: 1) todo número da forma 99.9, onde o número de "9"s é par, é divisivel por 11.
2) Todo número da forma 100...01, onde o número de "0"s entre os dois "uns"é par, também é múltiplo de 11. Para a prova observe que 9999 = 9900+ 99, 999999999900+99..., e que 1001=990+11; 10000199990-11,....
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O critério de divisibilidade por 11 que você descreveu é uma maneira interessante de verificar se um número é divisível por 11. Ele se baseia na propriedade de que um número é divisível por 11 se a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares também for divisível por 11.
Vamos resumir os passos para verificar a divisibilidade de um número de 5 dígitos usando esse critério:
Represente o número de 5 dígitos como abcde, onde a, b, c, d e e são os dígitos individuais.
Use as substituições que você descreveu para expressar o número de uma forma diferente: n = 999a + 1001b + 99c + 11d + (a + c + e) - (b + d).
Observe que 999a + 1001b + 99c + 11d é divisível por 11, pois essa é a parte que você demonstrou ser divisível por 11.
Portanto, n será divisível por 11 se, e somente se, (a + c + e) - (b + d) também for divisível por 11.
Observe que os dígitos a, c e e ocupam posições ímpares, enquanto b e d ocupam posições pares. Isso se encaixa na propriedade geral de divisibilidade por 11 que você mencionou.
Você também mencionou duas propriedades fundamentais: números da forma 99...9 (com um número par de dígitos 9) e números da forma 100...01 (com um número par de dígitos 0 entre dois 1) são divisíveis por 11.
Em resumo, seu critério de divisibilidade por 11 é uma aplicação interessante dessas propriedades. Se a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares for divisível por 11, então o número original também será divisível por 11. Isso pode ser uma maneira eficaz de verificar a divisibilidade por 11 de um número sem fazer a divisão.
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