Validade das propriedades

Professor Antônio S.

Respondeu há 1 ano

(a) Se a > b e b > c, então a > c:

Podemos visualizar a situação como uma linha numérica, onde a, b e c são pontos. Se a é maior que b, significa que a está mais à direita na linha numérica do que b. Da mesma forma, se b é maior que c, significa que b está mais à direita do que c. Portanto, a está mais à direita do que b, e b está mais à direita do que c. Como a está mais à direita do que b, e b está mais à direita do que c, então a está mais à direita do que c. Em outras palavras, a > c.

(b) Se a > b e b > c, então ac > bc:

Podemos reescrever a desigualdade como a - b > 0 e b - c > 0. Isso significa que a - b e b - c são ambos positivos. Multiplicando essas duas desigualdades, temos:

(a - b) * (b - c) > 0 ab - ac - bb + bc > 0 ac > bc ac - bc > 0 c*(a-b) > 0

Como c é positivo, então a - b > 0, o que significa que a > b. Portanto, ac > bc.

(c) |x| < a se, e somente se, ?a < x < a, onde a > 0:

A propriedade significa que a distância entre x e 0 (representada por |x|) é menor do que a, se e somente se x está entre -a e a. Podemos visualizar isso como um intervalo na linha numérica, onde -a está à esquerda de 0 e a está à direita de 0. Se x está dentro desse intervalo, então sua distância até 0 é menor do que a. Se x está fora desse intervalo, então sua distância até 0 é maior do que a.

(d) Se a, b ? R, então |a · b| = |a| · |b|:

Essa propriedade afirma que o produto de dois números reais sempre resulta em um número não negativo, cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos dois números originais. Podemos visualizar isso como uma área num plano cartesiano, onde a e b são os comprimentos dos lados de um retângulo. O produto a * b é a área desse retângulo, que é sempre não negativa. Além disso, o valor absoluto de a é o comprimento do lado direito do retângulo, e o valor absoluto de b é o comprimento do lado superior do retângulo. O produto dos valores absolutos de a e b é a área do retângulo que seria formado se os lados fossem esticados até o eixo x e o eixo y, respectivamente. Essa área é a mesma que a área original do retângulo, que é igual a |a * b|.

(e) Se a, b ? R, então |a + b| ? |a| + |b|:

Essa propriedade afirma que a distância entre a + b e 0 (representada por |a + b|) é menor ou igual à soma das distâncias entre a e 0 (|a|) e entre b e 0 (|b|). Podemos visualizar isso como um triângulo num plano cartesiano, onde a e b são vetores que partem da origem (0, 0) e terminam em (a, 0) e (0, b), respectivamente. O vetor a + b parte da origem e termina em (a, b). O comprimento do vetor a + b é a distância entre (a, b) e (0, 0), que é representada por |a + b|. Podemos dividir o triângulo em dois triângulos menores, formando um retângulo com lados de comprimento |a| e |b|. A diagonal desse retângulo é representada pelo vetor a + b. A partir do Teorema de Pitágoras, sabemos que o comprimento da diagonal de um retângulo é menor ou igual à soma dos comprimentos dos dois lados. Portanto:

|a + b| ? ?(|a|² + |b|²) ? |a| + |b|

Professor Lucas O.

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Respondeu há 1 ano

(a) Para demonstrar que se a > b e b > c, então a > c, podemos utilizar a propriedade transitiva da relação de ordem em R. Se a > b e b > c, então temos que a - b > 0 e b - c > 0. Somando essas duas desigualdades, obtemos:

(a - b) + (b - c) > 0

Simplificando, temos:

a - c > 0

Portanto, a > c.

(b) Para demonstrar que se a > b e b > c, então ac > bc, podemos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em R. Se a > b e b > c, então a - b > 0 e b - c > 0. Multiplicando essas duas desigualdades, obtemos:

(a - b) · (b - c) > 0

Expandindo a expressão, temos:

ab - ac - b^2 + bc > 0

Reorganizando os termos, temos:

ab - b^2 > ac - bc

Fatorando, temos:

b(a - b) > c(a - b)

Dividindo ambos os lados por (a - b) (que é positivo, pois a > b e b > c), obtemos:

b > c

Portanto, ac > bc.

(c) Para demonstrar que |x| < a se, e somente se, ?a < x < a, onde a > 0, podemos utilizar a definição de valor absoluto em R. Temos que:

|x| < a

Se x é positivo, então |x| = x e a > 0 implica que x < a. Se x é negativo, então |x| = -x e a > 0 implica que -x < a. Portanto, podemos escrever:

?a < x < a

Reciprocamente, se ?a < x < a, então x está dentro do intervalo aberto (?a, a), que tem comprimento 2a. Como o valor absoluto de x é a distância de x até zero, temos que |x| < a.

(d) Para demonstrar que |a · b| = |a| · |b|, podemos utilizar a definição de valor absoluto em R e a propriedade de multiplicação de números reais. Temos que:

|a · b| = a · b, se a · b ? 0 |a · b| = ?(a · b), se a · b < 0

Se a e b têm o mesmo sinal, então a · b ? 0 e |a · b| = a · b = |a| · |b|. Se a e b têm sinais opostos, então a · b < 0 e |a · b| = ?(a · b) = |a| · |b|, pois tanto |a| como |b| são não negativos. Portanto, em ambos os casos, |a · b| = |a| · |b|.

(e) Para demonstrar que |a + b| ? |a| + |b|, podemos utilizar a desigualdade triangular em R. Temos que:

|a + b| ? |a| + |b| se a + b ? 0 |a + b| ? |a| + |b| se a + b < 0

Se a + b ? 0

Temos que |a + b| = a + b, pois a + b é não negativo. Pela desigualdade triangular, temos:

|a + b| ? |a| + |b|

Substituindo |a + b| por a + b, temos:

a + b ? |a| + |b|

Subtraindo a de ambos os lados, temos:

b ? |a| - a + |b|

Pela desigualdade triangular, temos que |a| - a ? 0 e |b| - b ? 0. Portanto, podemos escrever:

b ? |a| + |b| - (a + b)

Reorganizando os termos, temos:

a + b ? |a| + |b|

Portanto, em ambos os casos, |a + b| ? |a| + |b|.