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Produto vetorial

Determine o produto vetorial dos vetores “a e b” e confirme o resultado através do determinante.

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3 respostas

Professor Douglas R.

Respondeu há 4 anos

Suponha que os vetores a e b sejam dados por:

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}(\hat{i}\times\hat{i}) + a_{x}b_{y}(\hat{i}\times\hat{j}) + a_{x}b_{z}(\hat{i}\times\hat{k}) + a_{y}b_{x}(\hat{j}\times\hat{i}) + a_{y}b_{y}(\hat{j}\times\hat{j}) + a_{y}b_{z}(\hat{j}\times\hat{k}) + a_{z}b_{x}(\hat{k}\times\hat{i}) + a_{z}b_{y}(\hat{k}\times\hat{j}) + a_{z}b_{z}(\hat{k}\times\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{rcr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} \right| = a_{y}b_{z}\hat{i}+a_{z}b_{x}\hat{j} + a_{x}b_{y}\hat{k} - a_{y}b_{x}\hat{k} - a_{x}b_{z}\hat{j} - a_{z}b_{y}\hat{i}$

$\therefore\quad \vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.

Obs:. Também é possível resolver este problema usando o símbolo de Levi-Civita.

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Professora Claudia S.

Respondeu há 4 anos

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\therefore\quad \vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.

Professora Claudia S.

Respondeu há 4 anos

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\vec{a} = a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k}$

$\vec{b} = b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k}$

O produto vetorial fica:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{x}\hat{i} + a_{y}\hat{j} + a_{z}\hat{k})\times (b_{x}\hat{i} + b_{y}\hat{j} + b_{z}\hat{k})$

$\vec{a} \times \vec{b} = a_{x}b_{x}0 + a_{x}b_{y}\hat{k} + a_{x}b_{z}(-\hat{j}) + a_{y}b_{x}(-\hat{k}) + a_{y}b_{y}0 + a_{y}b_{z}(\hat{i}) + a_{z}b_{x}(\hat{j}) + a_{z}b_{y}(-\hat{i}) + a_{z}b_{z}0$

Desta forma:

(I)

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

Agora calculemos o produto vetorial por meio do determinante:

$\therefore\quad \vec{a} \times \vec{b} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y})\hat{i} + (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z})\hat{j} + (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})\hat{k}$

O qual fornece o mesmo resultado que (I). C.Q.D.