Velocidade calha cilíndrica

Professor Thiago L.

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Respondeu há 2 anos

Oi, bem? Então, como o autor da questão disse que a esfera oca foi abandonada, temos que a sua energia cinética inicial era nula. Isso é um indício para utilizarmos a conservação da energia na previsão da velocidade desse objeto em qualquer ponto da sua trajetória, pois um dos termos da equação já foi eliminado! Só relembrando, o princípio da conservação da energia diz basicamente quê:

onde os índices i e f referem-se aos estados de movimento inicial e final de uma partícula ou conjunto delas, respectivamente. Assim, como na mecânica clássica E é dado por

com U sendo a energia potencial armazenada no ente e K a sua energia cinética, temos

Agora lembre-se que a energia potencial não possui um significado intrínseco, isto é, ela depende do sistema de referência, de tal maneira que eu posso propor um sistema de referência bem louco e prever um potencial de 3 J para uma partícula, enquanto você propõe um sistema bem mais simples, prevê um potencial de 35 J e nós dois ainda assim podemos estar certos. Mas não atente-se a isso, pois o estudo dos potenciais é bastante importante, visto que eles fornecem meios simplórios de se calcular forças conservativas. Ok! Agora voltemos ao problema: em vista dessa arbitrariedade dos sistemas de referência para se calcular o potencial de um sistema, por que não pegar um no qual o potencial da partícula ao passar pela parte mais baixa da pista seja nulo? Bem, isso é bastante razoável e será justamente o que faremos para simplificar o problema!

Assim, adotando um sistema de referência no qual

com f representando o estado da bola associado ao instante no qual ela passa pelo ponto de mínima altitude da trajetória, temos:

Agora você lembra a forma usual de U e de K? Veja abaixo:

Note que h aqui é a altura na qual a partícula em consideração se encontra, g é o módulo da aceleração da gravidade, m é a sua massa e v é a sua velocidade. Assim, substituindo essas expressões na igualdade acima, obtemos

tomando m = M e h = b, temos:

Note-se contudo que não consideramos nenhuma força de atrito no processo! A consideração dessas forças alteraria a expressão para a conservação da energia.

b) Quando a esfera passa pelo extremo inferior do bowl, nesse exato instante, apenas duas forças estão agindo sobre ela: a gravitacional e a normal. Não há ninguém nem nada a empurrando ou a puxando e tudo o que existe são essas forças e a sua velocidade, adquirida ao longo da trajetória. Assim, como a esfera não está, nesse instante, sendo elevada ou afundando no bowl, essas duas forças encontram-se em equilíbrio, isto é

e portanto

Espero ter ajudado e bons estudos!