Álgebra - transformação linear - invariante

Professora Caroline S.

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Respondeu há 3 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Oie! vamos lá!

Nossa ideia será mostrar que se W não é {0} e nem o todo V então conseguiremos um operador T tal que W não é invariante por T.

Naturalmente, temos W está contido em V com W diferente de {0}.

Considere uma base de W a saber, {w_1, ..., w_m} e complete-a até uma base para o espaço V, (podemos fazer isso porque V tem dimensão finita)

                                  {w_1, ..., w_m, v_1, ..., v_n}.

Definindo um operador T tal que 

                                     T(w_i)= v_1  para todo i=1,..,m

                                     T(v_i)= v_i    para todo i=1,...,n 

vemos que 

             T(W) está contido em [v_1]     ( [v_1]= espaço gerador de v_1)

o que significa dizer que W não é invariante por esse T.

Portanto se W é invariante para todo T então W={0} ou W=V. 

(VERDADEIRA)

                                                                                                          •

 A técnica de demonstração usada foi a contrapositiva.

Professor Luís S.

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Respondeu há 3 anos

A afirmação é falsa. Um exemplo é  (identidade), daí Tw = w, para qualquer w de W, T(W) = W (então está contido em W). 
Outros exemplos são Tw = cw,  em que c é um elemento de F.

Professora Caroline S.

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Respondeu há 3 anos

Oie! vamos lá!

Nossa ideia será mostrar que se W não é {0} e nem o todo V então conseguiremos um operador T tal que W não é invariante por T.

Naturalmente, temos W está contido em V com W diferente de {0}.

Considere uma base de W a saber, {w_1, ..., w_m} e complete-a até uma base para o espaço V, (podemos fazer isso porque V tem dimensão finita)

                                  {w_1, ..., w_m, v_1, ..., v_n}.

Definindo um operador T tal que 

                                     T(w_i)= v_1  para todo i=1,..,m

                                     T(v_i)= v_i    para todo i=1,...,n 

vemos que 

             T(W) está contido em [v_1]     ( [v_1]= espaço gerador de v_1)

o que significa dizer que W não é invariante por esse T.

Portanto se W é invariante para todo T então W={0} ou W=V. 

(VERDADEIRA)

                                                                                                          •

 A técnica de demonstração usada foi a contrapositiva.