Dúvida questão números complexos

Professor Lucas P.

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Respondeu há 2 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Boa tarde,

Em primeiro, tendo em vista que usaremos o plano complexo, escrevamos o número complexo na forma de coordenadas. Assim, sabendo que , temos que:

.

Como , temos de obter as seis raízes do número complexo w de forma a encontrar as coordenadas de seus afixos no plano complexo.

Sabemos, pela Fórmula de Moivre, que cada raiz é  , para k natural .

Sabemos, por w estar contido na parte negativa do eixo imaginário do plano complexo, que .

Também sabemos que e, portanto, .

Assim, temos que cada uma das seis raízes para é:
.

Uma forma mais simples de imaginar no plano complexo é, sabendo-se que um afixo tem como norma a distância de seu ponto à origem e que as seis raízes tem o mesmo módulo (3), então as seis raízes têm afixos posicionados em uma circunferência de origem no centro do sistema cartesiano e de raio 3.

Além disso, como a diferença de ângulos entre afixos é a mesma (), então tratam-se de seis pontos sobre uma circunferência angularmente igualmente espaçados. Ou seja, temos um hexágono (seis vértices) regular inscrito numa circunferência de raio 3.

Assim, para conhecer a distância entre dois pontos alternados quaisquer, basta tomarmos um triângulo e calcularmos o seu lado oposto à origem.

Em sendo o ângulo no vértice da origem do sistema o dobro da diferença angular entre dois afixos, visto que estamos tomando duas diferenças angulares entre afixos, temos que . Por se tratar de um triângulo isósceles (há dois lados iguais a 3), temos dois ângulos também equivalentes (os opostos à origem). Assim, temos que os ângulos nos afixos do triângulo tomado são, por serem suplementares a :

.

Pela lei dos senos, temos que:

.

Para o cálculo da área, tomemos dois triângulos formados pela origem e dois afixos sucessivos (não alternados), que compõem o quadrilátero em que estamos interessados. Façamos isso para facilitar os cálculos.

Sabemos que o ângulo na origem desse triângulo é (diferença angular entre afixos sucessivos), bem como sabemos que seus lados adjacentes são 3. Assim, pela fórmula da área do triângulo , obtemos que:

Como queremos a área de dois triângulos desses, temos que a área é .

Em sendo a distância e área, respectivamente, e , a alternativa deve ser B.

Como é mais difícil imaginar sem desenhos a solução de um problema que na verdade é mais geométrico do algébrico, coloco-me à disposição para esclarecer eventuais dúvidas.

Professor Eric A.

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Respondeu há 2 anos

Ocorre que devemos ter z = a+ib, com a=0

Daí,

Devemos ter k = 2 de modo que 

Donde torna-se que b = 3.

E inicialmente, devemos ter