V (x) denota o número de litros de combustível que ainda estão no tanque de um ponteiro de aeronave após ter voado x km. Suponha que V (x) satisfaça a seguinte equação diferencial.
V'(x) = -0.001*V(x) - 8
Antes da decolagem, o tanque é abastecido com litros V0.
a) Resolva a equação diferencial acima e forneça V (x), com V0 = 12000.
b) A aeronave precisa de 1000 litros para pousar. Quão longe o avião pode voar se V0 = 12000?
c) Qual é o número mínimo de litros necessário na decolagem para que a aeronave voe 1000 quilômetros?
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A) EDO linear de primeira ordem.
V' + 0,001V = - 8
Fator integrante:
u = exp(integral(0,001dx))
u = exp(0,001x)
u*V = integral(-8udx)
exp(0,001x) * V = integral(-8exp(0,001x)dx)
exp(0,001x)*V = (-8/0,001)exp(0,001x) + C
Passa o exp(0,001x) dividindo:
V = - 8000 + C exp(-0,001x)
Usa a condição inicial:
12000 = - 8000+C
C = 20000
V(X) = - 8000 + 20000exp(-0,001x)
B)
1000 = - 8000 + 20000exp(-0,001x)
9000 = 20000exp(-0,001x)
(9/20) = exp(-0,001x)
ln(9/20)= - 0,001x
X = ln(9/20)/-0,001 = 798,51 km
C)
V = - 8000 + 20000exp(-0,001*1000)
V = - 8000 + 20000exp(-1)
V = - 642,41 L
Ou seja, com Vo= 12000, ficam faltando 642,41 L. Portanto, o avião deve ter 12642,41 L para percorrer 1000 km.
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