Na seguinte questão: Se f(x)={ 4x^2 + 4 se x < 0 e 4 - 5x^2 se x >=0, então f−1(y) para y > 4 é: ?
Eu cheguei em:
f(x)=4x^2 + 4 se x < 0 -> x=-raiz(y-4)/2
f(x)=4 - 5x^2 se x >=0 -> x=raiz((y-4)/5)
Porém, estou em dúvida em como terminar o exercício. Qual resultado eu escolho a partir do y > 4? Não está claro para mim.
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Seja f(x) = y uma função de x e f-1(y) a sua função inversa. Então, na f-1, a variável é o y, ou seja, os valores do domínio da função f-1 são os valores da imagem da função f. Quando a questão pergunta como a função f-1(y) se comporta para y > 4, ela quer saber para quais valores de x, y = f(x) > 4.
Ou seja, você tem 2 opções:
1) Se x < 0: 4x² + 4 = y > 4 --> x > 0, porém, x < 0 pela condição de existência da função, logo, não temos solução nesse caso.
2) Se x => 0: 4 - 5x² = y > 4 --> 5x² < 0 --> x < 0. Assim, x < 0 é a solução da equação f(x) > 4. Logo, f-1(x) = , para x > 4.
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Acho que sua conclusão não está correta, pois:
f(x)=4 - 5x^2 se x >=0 -> x=raiz((y-4)/(-5))=raiz((4-y)/5) que não tem solução real para y>4
Logo f-1(y)=-raiz(y-4)/2 para y>4
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