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Matemática Ensino Médio
Considere o sistema de equações abaixo, no qual a é um número real: 
 
 
\left\{\begin{array}{l}(x-a)^2-y^2=(a+1)^2\\x^2+y^2=1\end{array}\right.
(a) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui apenas um par ordenado (x,y)\in\mathbb{R}^2 como solução? 
(b) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui exatamente dois pares ordenados (x,y)\in\mathbb{R}^2 como solução?
(c) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui exatamente três pares ordenados (x,y)\in\mathbb{R} como solução?
(d) Existem algum valor de a\in\mathbb{R} para o qual o sistema tenha mais de três pares ordenados como solução?
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Max perguntou há 4 anos

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Professor Vinicius B.
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Respondeu há 4 anos

Expressando y^2 em função de x na segunda equação, temos  y^2=1-x^2, que só possuirá solução real para \mid x \mid \leq 1

Substituindo na primeira equação, temos: (x-a)^2-1+x^2=(1+a)^2. As soluções da equação de segundo grau são:

x=a+1 ou x=-1

Analisando as soluções do sistema conforme o valor de a:

a\in(-\infty;-2]\cup(0;+\infty): a única solução é  x=-1;y=0

a=2: as soluções são x=-1; y=0 ou x=1; y=0

a\in(-2;0): as soluções são x=-1;y=0 ou x=a+1; y=\pm\sqrt{-a(a+2)}

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