Independentemente/independente

Se empregarmos uma frase que muda o sentido apenas do substantivo, optamos pelo adjetivo independente; se usarmos uma frase que modificará o sentido do verbo ou de toda oração, optamos pelo advérbio independentemente. Exemplo *Independente, Maria conseguiu terminar os estudos.* Nesse caso, o termo independente atribui característica ao sujeito, ou seja, Maria é independente e terminou os estudos. Portanto, o adjetivo modificou o sentido apenas do substantivo. O emprego de independente está correto. *Independentemente da escolha dos colegas, Júlio conseguiu se candidatar.* Aqui a expressão “Independentemente da escolha dos colegas” modifica o fato de Júlio ter conseguido se candidatar. Portanto, o advérbio altera o sentido da oração e não apenas do sujeito. O emprego do advérbio independentemente está correto. Sendo assim, quando precisarmos usar tais palavras, devemos nos lembrar: adjetivo atribui característica e modifica o sentido do substantivo. Então usaremos independente; já o advérbio modifica o sentido de toda a oração ou do verbo. Portanto, usaremos independentemente. No seu caso, o termo a ser utilizado, seria o INDEPENDENTEMENTE. Espero ter ajudado!

Luciana, a pergunta é bem interessante. Veja:

Na língua oral, usamos bastante adjetivos com função de advérbio:

Desce redondo (redondamente). / Aprendeu rápido (rapidamente). / Respondeu calmo (calmamente).

Como advérbio modifica verbo, adjetivo e advérbio, os exemplos entre parênteses são os indicados em situação formal, oral e escrita. 

Então:

O importante é sempre continuar, independentemente da velocidade. - adequado segundo a gramática; neste caso modifica toda a oração anterior, o fato de ser importante continuar.

Espero tê-la ajudado. At.te, tutor Miguel Augusto Ribeiro. 

A palavra "independentemente" cumpre papel de adjetivo, desta forma, é usada para indicar um atributo/característica a um substantivo. Desta forma a primeira frase esta correta, "independentemente" está atribuindo característica ao substantivo "velocidade."

Espero ter ajudado! :)