Encontrando relação trigonométrica

Suponha um exercício que te forneça o seguinte dado:

senθ = 3/5

E este mesmo exercício pergunte:

Calcule tan²θ+sec³θ.

Para resolver essa questão, você pode lançar mão de identidades trigonométricas, tais como sen²θ+cos²θ=1 ou senθ/cosθ = tanθ, relacioná-las com 1+cotan²θ=cossec²θ e por aí vai.

O problema é que o exercício ficará muito grande devido à extensão algébrica, além do tempo consumido e a grande chance de errar. Um meio muito fácil de resolvê-lo é o seguinte:

Suponha um triângulo retângulo genérico que obedeça ao dado do exercício, isto é, um triângulo retângulo cujo seno é 3/5. Você pode colocar qualquer número desde que obedeça a essa proporção de 3/5. Por simplicidade, adotarei o cateto oposto como 3 e a hipotenusa como 5.

Fazendo pitágoras para descobrir o valor do outro cateto, temos: 3²+x²=5² --> x=4

Agora, temos todas as medidas do triângulo e podemos calcular qualquer outra relação trigonométrica.

tanθ = cateto oposto / cateto adjacente = 3/4
secθ = 1/cosθ= hipotenusa / cateto adjacente = 5/4

Portanto: tan²θ+sec³θ=(3/4)²+(5/4)³=9/16+125/64=161/64

Pronto! O exercício foi resolvido sem recorrer à álgebra trigonométrica.