Ondas senoidais estacionárias

Parece que você está analisando uma equação de onda e está tentando entender a identidade envolvendo senos e cosenos. Vou tentar explicar a etapa final da identidade para você.

Vamos começar com a expressão que você mencionou:

?=?1+?2=12?[(????)?(?????)]?????=??(sin???)?????n=N1?+n2?=21?A[(eikx)?(e?ikx)]e?iwt=iA(sinkx)e?iwt

Para entender essa identidade, primeiro precisamos analisar a expressão dentro dos colchetes. Aqui, estamos lidando com a diferença de duas exponenciais complexas:

(????)?(?????)(eikx)?(e?ikx)

Você pode usar a fórmula de Euler para escrever as exponenciais complexas em termos de seno e cosseno:

???=cos?(?)+?sin?(?)eix=cos(x)+isin(x)

Portanto, aplicando essa fórmula às exponenciais complexas na sua expressão, obtemos:

(????)?(?????)=(cos?(??)+?sin?(??))?(cos?(???)+?sin?(???))(eikx)?(e?ikx)=(cos(kx)+isin(kx))?(cos(?kx)+isin(?kx)) $=(\cos (kx)+i\sin (kx))?(\cos (kx)?i\sin (kx))$ $=i\sin (kx)+i\sin (kx)=2i\sin (kx)$

Agora, voltando à expressão original e substituindo esta parte:

12?[(????)?(?????)]?????=12?(2?sin?(??))?????21?A[(eikx)?(e?ikx)]e?iwt=21?A(2isin(kx))e?iwt =??(sin???)?????=iA(sinkx)e?iwt

Portanto, a identidade é verdadeira, e a parte que você estava tendo dificuldade de entender vem da manipulação das exponenciais complexas usando a fórmula de Euler e a propriedade dos senos. Espero que isso ajude a esclarecer!