Equivalencia de juros compostos

Question

A resposta de um exercício é 42,58% a.a. porém a equação que se apresenta é a seguinte:  (1 +1)^1/4 -1    ----------------- = 3,0909 (1 +1)^1/12 -1  como chegar ao resultado de 42,58% a.a. ? Obrigado.

Marcos F. · Accepted Answer

Olá Nicola.  Chame-se (1+i)^(1/12) de x:  x^3 -1  = 3,0909.(x -1)  x^3-1 = 3,0909.( x-1)  x^3-1 = 3,0909.x - 3,0909  x^3 - 3,0909.x + 2,0909 = 0  Como uma das raízes do polinômio é 1, utilizando-se Briot Ruffini  ou via aplicativos como o Symbolab (https://pt.symbolab.com/solver/roots-calculator/roots%20x%5E%7B3%7D%20-%203.0909x%20%2B%202.0909) , chegam-se às raízes:  > 1    (i=0, não se aplica) > 1,03 > -2,03 (i negativo, não se aplica)   Como x = (1+i)^(1/12) , então (1+i)^(1/12) = 1,03   Aplicando-se logaritmos nos dois lados da equação:   ln[(1+i)^(1/12)] = ln1,03 = 0,029558802  1/12 . ln(1+i) = 0,029558802  ln(1+i) = 0,354705627  e^(0,354705627) = 1+i     -->  1+i = 1,425760887  --> i = 0,4258      i = 42,58%  Bons estudos!  Se desejar apoio adicional, pode me contatar aqui pelo Profes ou pelo email marcosfatt @ yahoo . com. br

Ulysses J. · Answer

Tomando (1 + i)^1/12 = x, segue que (1 + i)^1/4 = x^3. Logo, como x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), temos

x^3 - 1 (x - 1)(x^2 + x + 1)
---------- = 3,0909 => ------------------------- = 3,0909 => x^2 + x + 1 = 3,0909 => x^2 + x - 2,0909 = 0.
x - 1 x - 1

Resolvendo essa equação quadrática, concluímos que só pode ser x = 1,03 (x é um número real positivo e diferente de 1).

Portanto, vem (1 + i)^1/12 = 1,03. Agora, com o auxílio de uma calculadora, tomemos a aproximação 1,03^12 = 1,42576. Donde segue que

((1 + i)^1/12)^12 = 1,03^12 => 1 + i = 1,42576 => i = 42,58% a.a.

Alfeu P. · Answer

Excelente pergunta. Trata-se de um problema onde temos de isolar o ''i'' que está dentro das equações. Porém, não é trivial isolá-lo aritmeticamente, no papel. Esta questão, na minha visão, só poderia ser respondida com o auxílio de uma calculadora ou um laptop. Teoricamente, pode-se resolver na raça utilizando a convergência de Newton-Raphson. Consiste em chutar um valor e verificar se se aproxima, caso se aproxime, ir estreitando ou alagargando o chute. Porém, isto é tema de calculo diferencial e integral, não finanças. No excel, com um atingir meta você chega nesta taxa (talvez! deveria...) :-) Abx e boa questão

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