Duvida para resolver a questão de probabilidade

Professor Adriano H.

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Respondeu há 3 anos

12) Um empresário faz fones de ouvido. O fabricante garante uma vida útil de pelo menos 730 dias (ou seja, dois anos) para o modelo Elite 75t. O empresário sabe que a vida útil desse modelo é normalmente distribuída, com valor médio de 730 dias e desvio padrão de 20 dias. O fabricante vende este modelo a um preço de 109,99 CHF. Se o dispositivo sobreviver por dois anos, terá um lucro de 9,99 francos suíços. Caso contrário, o dispositivo será substituído pela garantia e resultará na perda de 90CHF. 

1. a) Qual é a probabilidade de um Elite 75t estar na garantia? Arredonde sua resposta para 4 casas decimais. P(D?730)?

1. b) Qual é a probabilidade de o fabricante não registrar prejuízo se vender 300 peças?

1. c) Que suposições você fez para responder às perguntas acima? Explique se isso é plausível.

Solução:

1a) Se o valor médio da vida útil é de 730 dias e desvio padrão de 20 dias, 50% dos aparelhos quebram abaixo da média e 50% acima da média. Logo, a probabilidade de um aparelho quebrar na garantia é de 50%.

1b) Se cada peça que dura gera +10 CHF e cada peça que não dura gera -90 CHF, para ficarmos nulos (sem lucro nem prejuízo) devemos ter 9 peças que duram para cada peça que não dura até a garantia: 9:10

9 peças que duram mais que a garantia -> 1 peça que não dura mais que a garantia

Como temos 300 peças, devemos ter 270 peças que duram + 30 peças que não duram

Ou seja, no máximo 30 peças podem estragar antes da garantia (k=30).

A probabilidade de uma peça estragar antes da garantia é de 50% (p=0,5).

Tomando uma distribuição binomial (ou a peça dura ou não dura): https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Cumulative_distribution_function

A probabilidade de 30 peças ou menos estragarem num universo de n=300 peças é

(n-k) n!/[(n-k)!k!] integral de (0 a 1-p) t^(n-k-1) (1-t)^k dt, com n=300, k=30, p=0.5

(300-30) 300!/((300-30)!30!) int (0,0.5) t^(300-30-1) (1-t)^30 dt = 9.55518 x 10^-50 probabilidade do fabricante ter lucro

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28300-30%29+300%21%2F%28%28300-30%29%2130%21%29+integral+t%5E%28300-30-1%29+%281-t%29%5E30+dt+from+t%3D0+to+t%3D0.5

ou seja, é quase impossível o fabricante não ter prejuízo.